Упр.15.24 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Найдите значение производной данной функции в точке $$x_0$$:
   а) $$y=x^3+\ln(x),\ x_0=1$$;
   б) $$y=\log_3(x)+1,\ x_0=3$$;
   в) $$y=x^4-\ln(x),\ x_0=1$$;
   г) $$y=\log_{0,5}(x)+x,\ x_0=4$$.
2. При каких значениях параметра $$p$$ функция $$y=x^3-3x$$ убывает на отрезке:
   а) $$[p+1;\ p+3]$$;
   б) $$[p-3;\ \frac{1}{6}p+\frac{2}{3}]$$?

1. Найдём производные и подставим заданные значения.

   а) $$y=x^3+\ln x$$

   $$y'(x)=3x^2+\frac{1}{x}$$

   $$y'(1)=3\cdot 1^2+\frac{1}{1}=4$$

   б) $$y=\log_3 x+1$$

   $$y'(x)=\frac{1}{x\ln 3}$$

   $$y'(3)=\frac{1}{3\ln 3}=\frac{1}{\ln 27}$$

   в) $$y=x^4-\ln x$$

   $$y'(x)=4x^3-\frac{1}{x}$$

   $$y'(1)=4\cdot 1^3-\frac{1}{1}=3$$

   г) $$y=\log_{0,5}x+x$$

   $$y'(x)=\frac{1}{x\ln 0,5}+1=\frac{1}{x\ln \frac12}+1$$

   $$y'(4)=\frac{1}{4\ln \frac12}+1=1-\frac{1}{4\ln 2}$$

2. Рассмотрим функцию $$y=x^3-3x$$.

   $$y'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$$

   Функция убывает там, где $$y'(x)\le 0$$, то есть при

   $$-1\le x\le 1$$

   а) На отрезке $$[p+1;\,p+3]$$ функция убывает, если

   $$p+1\ge -1,\qquad p+3\le 1$$

   Отсюда

   $$p\ge -2,\qquad p\le -2$$

   Значит, $$p=-2$$.

   б) На отрезке $$\left[p-3;\,\frac16p+\frac23\right]$$ функция убывает, если

   $$p-3\ge -1,\qquad \frac16p+\frac23\le 1$$

   Тогда

   $$p\ge 2,\qquad \frac16p\le \frac13,\qquad p\le 2$$

   Следовательно, $$p=2$$.

Ответ

а) $$4$$; б) $$\frac{1}{\ln 27}$$; в) $$3$$; г) $$1-\frac{1}{4\ln 2}$$; а) $$p=-2$$; б) $$p=2$$.