Упр.15.1 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Найдите производную данной функции: а) $$y=e^x$$; б) $$y=-e^x$$; в) $$y=e^{x-3}$$; г) $$y=e^{x+2}$$; д) $$y=-3e^x$$; е) $$y=4e^x$$.
- а) На рисунке 63 изображён график дифференцируемой функции $$y=f(x)$$. Среди отмеченных точек $$a$$, $$b$$, $$c$$, $$d$$, $$e$$ и $$g$$ укажите те, для которых справедливо неравенство $$f'(x)<0$$.
б) На рисунке 64 изображён график дифференцируемой функции $$y=f(x)$$. Среди отмеченных точек $$a$$, $$b$$, $$c$$, $$d$$, $$e$$ и $$g$$ укажите те, для которых справедливо неравенство $$f'(x)>0$$.
Используем правило дифференцирования показательной функции: если $$y=e^x,$$ то $$y’=e^x.$$
Тогда для данных функций получаем:
$$\begin{aligned} &\text{а) } y=e^x, && y’=e^x;\\ &\text{б) } y=-e^x, && y’=-e^x;\\ &\text{в) } y=e^{x-3}, && y’=e^{x-3};\\ &\text{г) } y=e^{x+2}, && y’=e^{x+2};\\ &\text{д) } y=-3e^x, && y’=-3e^x;\\ &\text{е) } y=4e^x, && y’=4e^x. \end{aligned}$$
По графику функции $$y=f(x)$$ производная положительна там, где функция возрастает, и отрицательна там, где функция убывает.
а) На рисунке 63:
$$f'(a)>0,\quad f'(b)=0,\quad f'(c)<0,\quad f'(d)<0,\quad f'(e)<0,\quad f'(g)<0.$$
Значит, неравенство $$f'(x)<0$$ выполняется в точках $$c,\ d,\ e,\ g.$$
б) На рисунке 64:
$$f'(a)>0,\quad f'(b)=0,\quad f'(c)<0,\quad f'(d)>0,\quad f'(e)<0,\quad f'(g)<0.$$
Значит, неравенство $$f'(x)>0$$ выполняется в точках $$a,\ d.$$
Ответ
а) $$y’=e^x;$$ $$y’=-e^x;$$ $$y’=e^{x-3};$$ $$y’=e^{x+2};$$ $$y’=-3e^x;$$ $$y’=4e^x.$$
а) $$c,\ d,\ e,\ g.$$
б) $$a,\ d.$$
