Упр.15.18 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) Докажите, что функция $$y=xe^{1-ax}$$ для любого $$a\in\mathbb{R}$$ удовлетворяет соотношению $$y’=\frac{y}{x}\ln\frac{y}{x}$$.
б) Докажите, что функция $$y=ae^{-x}+\frac{1}{2}(\sin x+\cos x)$$ для любого $$a\in\mathbb{R}$$ удовлетворяет соотношению $$y’+y=\cos x$$.
Исследуйте данную функцию на монотонность:
а) $$y=v(2x+1)$$;
б) $$y=v(2-x)+2x$$;
в) $$y=v(3-2x)$$;
г) $$y=v(3-x)+3x$$.

Подробный ответ

а) Пусть $$y=xe^{1-ax}.$$ Тогда по правилу произведения

$$y’ = e^{1-ax} + x\cdot e^{1-ax}(-a)=e^{1-ax}(1-ax).$$

С другой стороны,

$$\frac{y}{x}=e^{1-ax}, \qquad \ln\frac{y}{x}=\ln\left(e^{1-ax}\right)=1-ax.$$

Следовательно,

$$\frac{y}{x}\ln\frac{y}{x}=e^{1-ax}(1-ax)=y’,$$

что и требовалось доказать.

б) Пусть $$y=ae^{-x}+\frac12(\sin x+\cos x).$$ Тогда

$$y’=-ae^{-x}+\frac12(\cos x-\sin x).$$

Найдём сумму $$y’+y$$:

$$y’+y=\left(-ae^{-x}+\frac12(\cos x-\sin x)\right)+\left(ae^{-x}+\frac12(\sin x+\cos x)\right)=\cos x.$$

Что и требовалось доказать.

Исследование на монотонность

а) $$y=\sqrt{2x+1}.$$ Область определения: $$2x+1\ge 0,$$ то есть $$x\ge -\frac12.$$

$$y’=\frac{2}{2\sqrt{2x+1}}=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}>0$$
при $$x>-\frac12.$$ Значит, функция возрастает на $$\left[-\frac12;+\infty\right).$$

б) $$y=\sqrt{2-x}+2x.$$ Область определения: $$2-x\ge 0,$$ то есть $$x\le 2.$$

$$y’=-\frac{1}{2\sqrt{2-x}}+2.$$

Найдём, где $$y’\ge 0$$:

$$2-\frac{1}{2\sqrt{2-x}}\ge 0$$
$$4\sqrt{2-x}-1\ge 0$$
$$4\sqrt{2-x}\ge 1$$
$$\sqrt{2-x}\ge \frac14$$
$$2-x\ge \frac{1}{16}$$
$$x\le \frac{31}{16}.$$

С учётом области определения получаем: функция возрастает на $$\left(-\infty;\frac{31}{16}\right]$$ и убывает на $$\left[\frac{31}{16};2\right].$$

в) $$y=\sqrt{3-2x}.$$ Область определения: $$3-2x\ge 0,$$ то есть $$x\le \frac32.$$

$$y’=-\frac{2}{2\sqrt{3-2x}}=-\frac{1}{\sqrt{3-2x}}<0$$ при $$x<\frac32.$$ Значит, функция убывает на $$\left(-\infty;\frac32\right].$$

г) $$y=\sqrt{3-x}+3x.$$ Область определения: $$3-x\ge 0,$$ то есть $$x\le 3.$$

$$y’=-\frac{1}{2\sqrt{3-x}}+3.$$

Найдём, где $$y’\ge 0$$:

$$3-\frac{1}{2\sqrt{3-x}}\ge 0$$
$$6\sqrt{3-x}-1\ge 0$$
$$6\sqrt{3-x}\ge 1$$
$$\sqrt{3-x}\ge \frac16$$
$$3-x\ge \frac{1}{36}$$
$$x\le \frac{107}{36}.$$

С учётом области определения получаем: функция возрастает на $$\left(-\infty;\frac{107}{36}\right]$$ и убывает на $$\left[\frac{107}{36};3\right].$$