Упр.15.10 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Найдите скорость изменения функции в точке $$x_0$$:
а) $$y=e^x(x^2-1),\quad x_0=-1$$;
г) $$y=e^{2x}(3-5x),\quad x_0=0$$;
б) $$y=\frac{vx}{e^{4x}},\quad x_0=1$$;
д) $$y=\frac{e^{3x-1}}{x^{1/3}},\quad x_0=1$$;
в) $$y=2^x\cdot\sin(2x),\quad x_0=0$$;
е) $$y=3^{-x}\cdot\operatorname{tg}(x),\quad x_0=0$$. - Докажите, что данная функция возрастает:
а) $$y=\cos(2x)+4x$$;
в) $$y=\cos(3x)+5x$$;
б) $$y=2^x+x^{1/3}$$;
г) $$y=3^x+2\left(x^{1/3}\right)$$.
Найдём производные и подставим заданные значения аргумента.
а) $$y=e^x(x^2-1), \quad x_0=-1$$
$$y'(x)=e^x(x^2-1)+e^x\cdot 2x$$
$$y'(-1)=e^{-1}(1-1)+e^{-1}\cdot(-2)=-\frac{2}{e}$$б) $$y=\frac{\sqrt{x}}{e^{4x}}, \quad x_0=1$$
$$y=x^{\frac12}e^{-4x}$$
$$y'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}e^{-4x}-4\sqrt{x}\,e^{-4x}$$
$$y'(1)=\frac{1}{2e^4}-\frac{4}{e^4}=-\frac{7}{2e^4}$$в) $$y=2^x\sin 2x, \quad x_0=0$$
$$y'(x)=2^x\ln 2\cdot \sin 2x+2^x\cdot 2\cos 2x$$
$$y'(0)=1\cdot \ln 2\cdot 0+1\cdot 2\cdot 1=2$$г) $$y=e^{2x}(3-5x), \quad x_0=0$$
$$y'(x)=2e^{2x}(3-5x)+e^{2x}(-5)$$
$$y'(0)=2\cdot 1\cdot 3+1\cdot(-5)=1$$д) $$y=\frac{e^{3x-1}}{\sqrt[3]{x}}, \quad x_0=1$$
$$y=e^{3x-1}x^{-\frac13}$$
$$y'(x)=3e^{3x-1}x^{-\frac13}-\frac13 e^{3x-1}x^{-\frac43}$$
$$y'(1)=3e^2-\frac13 e^2=\frac{8}{3}e^2$$е) $$y=3^{-x}\tg x, \quad x_0=0$$
$$y'(x)=3^{-x}(-\ln 3)\tg x+3^{-x}\cdot \frac{1}{\cos^2 x}$$
$$y'(0)=1\cdot(-\ln 3)\cdot 0+1\cdot 1=1$$Докажем, что функция возрастает, если её производная положительна при всех допустимых $$x$$.
а) $$y=\cos 2x+4x$$
$$y'(x)=-2\sin 2x+4$$
Так как $$-1\le \sin 2x\le 1,$$ то
$$y'(x)\ge -2\cdot 1+4=2>0.$$
Следовательно, функция возрастает.б) $$y=2^x+\sqrt[3]{x}$$
$$y'(x)=2^x\ln 2+\frac{1}{3}x^{-\frac23}$$
Оба слагаемых положительны при всех допустимых $$x$$, значит $$y'(x)>0.$$ Следовательно, функция возрастает.в) $$y=\cos 3x+5x$$
$$y'(x)=-3\sin 3x+5$$
Так как $$-1\le \sin 3x\le 1,$$ то
$$y'(x)\ge -3\cdot 1+5=2>0.$$
Следовательно, функция возрастает.г) $$y=3^x+2\sqrt[3]{x}$$
$$y'(x)=3^x\ln 3+\frac{2}{3}x^{-\frac23}$$
Оба слагаемых положительны при всех допустимых $$x$$, значит $$y'(x)>0.$$ Следовательно, функция возрастает.
Ответ
а) $$-\frac{2}{e}$$;
б) $$-\frac{7}{2e^4}$$;
в) $$2$$;
г) $$1$$;
д) $$\frac{8}{3}e^2$$;
е) $$1$$.
Функции из пункта 2 возрастают.
