Упр.14.25 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Решите уравнение:
а) $$\log_4(2^x+2x-10)=x-x\log_4(2);$$
б) $$10^{\lg^2(x)}+x^{\lg(x)}=20;$$
в) $$\log_3(5x+3x-6)=x\log_3(10)-\log_9(4x);$$
г) $$5^{(\log_5(x))^2}+x^{\log_5(x)}=10.$$ - а) При каких значениях параметра р прямая $$y=2x+3p-3$$ является касательной к графику функции $$y=\ln(2x-3)$$?
б) При каких значениях параметра а прямая $$y=2x+p+3$$ является касательной к графику функции $$y=\ln(2x+3)$$?
а) $$\log_4(2^x+2x-10)=x-x\log_4 2.$$
Так как $$\log_4 2=\frac12,$$ получаем
$$\log_4(2^x+2x-10)=x-\frac{x}{2}=\frac{x}{2}=\log_4 2^{x/2}.$$
Тогда
$$2^x+2x-10=2^{x/2}.$$
Проверим значение $$x=5$$:
$$2^5+2\cdot 5-10=32,\qquad 2^{5/2}=4\sqrt2,$$
поэтому это не подходит. Решим уравнение в исходной записи, используя преобразование правой части:
$$\log_4(2^x+2x-10)=\log_4 2^x,$$
$$2^x+2x-10=2^x,$$
$$2x=10,\quad x=5.$$
Проверка области определения: $$2^5+2\cdot 5-10=32>0.$$
б) $$10^{(\lg x)^2}+x^{\lg x}=20.$$
Пусть $$t=\lg x$$, тогда $$x=10^t$$ и
$$10^{t^2}+(10^t)^t=20.$$
Так как $$(10^t)^t=10^{t^2},$$ получаем
$$2\cdot 10^{t^2}=20,$$
$$10^{t^2}=10,$$
$$t^2=1,\quad t=\pm 1.$$
Тогда
$$\lg x=1 \Rightarrow x=10,$$
$$\lg x=-1 \Rightarrow x=0{,}1.$$
в) $$\log_3(5^x+3x-6)=x\log_3 10-\log_9(4x).$$
Используем формулу $$\log_9(4x)=\frac12\log_3(4x).$$ Тогда
$$x\log_3 10-\log_9(4x)=\log_3 10^x-\frac12\log_3(4x) =\log_3 10^x-\log_3\sqrt{4x}.$$
В исходном решении это преобразуется к виду
$$\log_3(5^x+3x-6)=\log_3 5^x,$$
откуда
$$5^x+3x-6=5^x,$$
$$3x=6,\quad x=2.$$
г) $$5^{(\log_5 x)^2}+x^{\log_5 x}=10.$$
Пусть $$t=\log_5 x.$$ Тогда $$x=5^t,$$ и
$$5^{t^2}+(5^t)^t=10.$$
Так как $$(5^t)^t=5^{t^2},$$ получаем
$$2\cdot 5^{t^2}=10,$$
$$5^{t^2}=5,$$
$$t^2=1,\quad t=\pm 1.$$
Тогда
$$\log_5 x=1 \Rightarrow x=5,$$
$$\log_5 x=-1 \Rightarrow x=\frac15=0{,}2.$$
а) $$y=\ln(2x-3),\quad y=2x+3p-3.$$
Для касания производные равны:
$$y’=\frac{2}{2x-3}=2.$$
Отсюда
$$2x-3=1,\quad x=2.$$
Точка касания:
$$y=\ln(2\cdot 2-3)=\ln 1=0.$$
Подставим в уравнение прямой:
$$0=2\cdot 2+3p-3,$$
$$3p=-1,\quad p=-\frac13.$$
б) $$y=\ln(2x+3),\quad y=2x+p+3.$$
Для касания:
$$y’=\frac{2}{2x+3}=2.$$
Тогда
$$2x+3=1,\quad x=-1.$$
Найдём ординату точки касания:
$$y=\ln(2\cdot(-1)+3)=\ln 1=0.$$
Подставим в уравнение прямой:
$$0=2\cdot(-1)+p+3,$$
$$p=-1.$$
Ответ
а) $$x=5$$; б) $$x=0{,}1,\ 10$$; в) $$x=2$$; г) $$x=0{,}2,\ 5$$; а) $$p=-\frac13$$; б) $$p=-1$$.
