Упр.14.16 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года. Составьте уравнение касательной к графику функции $$y=f(x)$$, параллельной указанной прямой:
а) $$f(x)=8(x-4)^{1/4},\quad y=2x+3$$;
б) $$f(x)=(x+2)^{-3},\quad y=2-3x$$. - Задание учебника 2022 года. Найдите производную функции:
а) $$y=x+\ln(x)$$;
б) $$y=x^3\ln(x)$$;
в) $$y=\frac{\ln(x)}{\cos(x)}$$;
г) $$y=x^2-\ln(x)$$;
д) $$y=vx\ln(x)$$;
е) $$y=\frac{\sin(x)}{\ln(x)}$$.
а) Ищем касательную к графику $$f(x)=8\sqrt[4]{x-4}$$, параллельную прямой $$y=2x+3$$. У параллельных прямых угловые коэффициенты равны, значит
$$f'(x)=2.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=8\cdot \frac14 (x-4)^{-3/4}=2(x-4)^{-3/4}.$$
Тогда
$$2(x-4)^{-3/4}=2,$$
$$(x-4)^{-3/4}=1,$$
$$x-4=1,\quad x=5.$$
Найдём значение функции в этой точке:
$$f(5)=8\sqrt[4]{5-4}=8.$$
Уравнение касательной:
$$y-8=2(x-5),$$
$$y=2x-2.$$
б) Ищем касательную к графику $$f(x)=(x+2)^{-3}$$, параллельную прямой $$y=2-3x.$$
Угловой коэффициент данной прямой равен $$-3$$, значит
$$f'(x)=-3.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-3(x+2)^{-4}.$$
Тогда
$$-3(x+2)^{-4}=-3,$$
$$(x+2)^{-4}=1,$$
$$x+2=1,\quad x=-1.$$
Найдём значение функции:
$$f(-1)=(-1+2)^{-3}=1.$$
Уравнение касательной:
$$y-1=-3(x+1),$$
$$y=-3x-2.$$
Найдём производные.
а) $$y=x+\ln x$$
$$y’=1+\frac1x.$$
б) $$y=x^3\ln x$$
$$y’=3x^2\ln x+x^3\cdot \frac1x=x^2(3\ln x+1).$$
в) $$y=\frac{\ln x}{\cos x}$$
$$y’=\frac{\frac1x\cos x+\ln x\sin x}{\cos^2 x} =\frac{\cos x+x\ln x\sin x}{x\cos^2 x}.$$
г) $$y=x^2-\ln x$$
$$y’=2x-\frac1x.$$
д) $$y=\sqrt{x}\,\ln x$$
$$y’=\frac{1}{2\sqrt{x}}\ln x+\sqrt{x}\cdot \frac1x =\frac{\ln x+2}{2\sqrt{x}}.$$
е) $$y=\frac{\sin x}{\ln x}$$
$$y’=\frac{\cos x\cdot \ln x-\sin x\cdot \frac1x}{\ln^2 x} =\frac{x\cos x\ln x-\sin x}{x\ln^2 x}.$$
Ответ
а) $$y=2x-2;$$
б) $$y=-3x-2;$$
а) $$y’=1+\frac1x;$$
б) $$y’=x^2(3\ln x+1);$$
в) $$y’=\frac{\cos x+x\ln x\sin x}{x\cos^2 x};$$
г) $$y’=2x-\frac1x;$$
д) $$y’=\frac{\ln x+2}{2\sqrt{x}};$$
е) $$y’=\frac{x\cos x\ln x-\sin x}{x\ln^2 x}.$$
