Упр.14.10 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Найдём производные функций:

   а)
   $$y=x^3+x^{-3}-3x^{1/3}$$
   $$y’=3x^2-3x^{-4}-3\cdot \frac13 x^{-2/3} =3x^2-3x^{-4}-x^{-2/3}$$

   б)
   $$y=x^4+x^{-4}+2x^{1/4}$$
   $$y’=4x^3-4x^{-5}+2\cdot \frac14 x^{-3/4} =4x^3-4x^{-5}+\frac12 x^{-3/4}$$

   в)
   $$y=0{,}5x^4-x\sqrt{x}-\sqrt2$$
   $$y’=0{,}5\cdot 4x^3-\frac32 x^{1/2} =2x^3-\frac32 \sqrt{x}$$

   г)
   $$y=\frac1{6x^6}+2\sqrt[3]{x^{-1}}-\sqrt[3]{3}$$
   $$y’=-\frac1{x^7}-\frac23 \sqrt[3]{x^{-4}}$$

   д)
   $$y=x^5-\frac9{\sqrt[3]{x}}+x^{-2}$$
   $$y’=5x^4+\frac3{\sqrt[3]{x^4}}-2x^{-3}$$

   е)
   $$y=x^8-6x\sqrt[5]{x}-x^{0{,}7}$$
   $$y’=8x^7-\frac{36}{5}x^{1/5}-0{,}7x^{-0{,}3}$$

2. Найдём угловой коэффициент касательной, то есть значение производной в точке $$x_0$$.

   а)
   $$y=0{,}4e^{0{,}5x}+3,\quad x_0=-2$$
   $$y’=0{,}4\cdot 0{,}5e^{0{,}5x}=0{,}2e^{0{,}5x}$$
   $$y'(-2)=0{,}2e^{-1}=\frac1{5e}$$

   б)
   $$y=0{,}5^{\,2x+1},\quad x_0=-0{,}5$$
   $$y’=2\cdot 0{,}5^{\,2x+1}\ln 0{,}5$$
   $$y'(-0{,}5)=2\ln 0{,}5$$

   в)
   $$y=\frac{e^{2x}}{x-2},\quad x_0=0$$
   $$y’=\frac{2e^{2x}(x-2)-e^{2x}}{(x-2)^2}$$
   $$y'(0)=\frac{2\cdot 1\cdot(-2)-1}{(-2)^2}=-\frac54$$

   г)
   $$y=20e^{0{,}1x}-x,\quad x_0=10$$
   $$y’=20\cdot 0{,}1e^{0{,}1x}-1=2e^{0{,}1x}-1$$
   $$y'(10)=2e-1$$

   д)
   $$y=\left(\frac23\right)^{3x},\quad x_0=-\frac13$$
   $$y’=3\left(\frac23\right)^{3x}\ln\frac23$$
   $$y’\!\left(-\frac13\right)=3\left(\frac23\right)^{-1}\ln\frac23 =\frac92\ln\frac23$$

   е)
   $$y=\frac{3x+4}{e^{(x-1)/3}},\quad x_0=1$$
   $$y’=\frac{3e^{(x-1)/3}-\frac13(3x+4)e^{(x-1)/3}}{e^{2(x-1)/3}}$$
   $$y'(1)=3-\frac13\cdot 7=\frac23$$

Ответ

1) а) $$y’=3x^2-3x^{-4}-x^{-2/3}$$; б) $$y’=4x^3-4x^{-5}+\frac12x^{-3/4}$$; в) $$y’=2x^3-\frac32\sqrt{x}$$; г) $$y’=-\frac1{x^7}-\frac23\sqrt[3]{x^{-4}}$$; д) $$y’=5x^4+\frac3{\sqrt[3]{x^4}}-2x^{-3}$$; е) $$y’=8x^7-\frac{36}{5}x^{1/5}-0{,}7x^{-0{,}3}$$.
2) а) $$\frac1{5e}$$; б) $$2\ln 0{,}5$$; в) $$-\frac54$$; г) $$2e-1$$; д) $$\frac92\ln\frac23$$; е) $$\frac23$$.