Упр.13.26 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Используя монотонность функций, решите уравнение:
   а) $$\sqrt{2x}-1=\frac{1}{x-1}$$;
   б) $$2x+3+x^{1/3}=0$$;
   в) $$\frac{2}{x-1}+2=\sqrt{3x}$$;
   г) $$x^{1/4}+2x^3=3$$.

1. а) Рассмотрим функции $$f(x)=\sqrt{2x}-1$$ и $$g(x)=\frac{1}{x-1}.$$

   Функция $$f(x)$$ возрастает при $$x \ge 0,$$ а функция $$g(x)$$ убывает при $$x \ne 1.$$

   Проверим значения:

   $$f(0)=\sqrt{0}-1=-1,$$
   $$g(0)=\frac{1}{0-1}=-1;$$

   $$f(2)=\sqrt{4}-1=1,$$
   $$g(2)=\frac{1}{2-1}=1.$$

   Значит, уравнение имеет два решения: $$x=0$$ и $$x=2.$$

2. б) Перепишем уравнение:

   $$2x+3+\sqrt[3]{x}=0 \quad \Longleftrightarrow \quad 2x+3=-\sqrt[3]{x}.$$

   Рассмотрим функции $$f(x)=2x+3$$ и $$g(x)=-\sqrt[3]{x}.$$

   Функция $$f(x)$$ возрастает при $$x \in \mathbb{R},$$ а функция $$g(x)$$ убывает при $$x \in \mathbb{R}.$$

   Проверим значение $$x=-1$$:

   $$f(-1)=2\cdot(-1)+3=1,$$
   $$g(-1)=-\sqrt[3]{-1}=1.$$

   Следовательно, решение единственное: $$x=-1.$$

3. в) Рассмотрим уравнение

   $$\frac{2}{x-1}+2=\sqrt{3x}.$$

   Область определения: $$x \ge 0,$$ $$x \ne 1.$$

   Функция $$f(x)=\sqrt{3x}$$ возрастает при $$x \ge 0,$$ а функция $$g(x)=\frac{2}{x-1}+2$$ убывает при $$x \ne 1.$$

   Проверим значения:

   $$f(0)=\sqrt{0}=0,$$
   $$g(0)=\frac{2}{0-1}+2=0;$$

   $$f(3)=\sqrt{9}=3,$$
   $$g(3)=\frac{2}{3-1}+2=3.$$

   Значит, уравнение имеет два решения: $$x=0$$ и $$x=3.$$

4. г) Рассмотрим уравнение

   $$\sqrt[4]{x}+2x^3=3.$$

   Перепишем его так:

   $$2x^3=3-\sqrt[4]{x}.$$

   Функция $$f(x)=2x^3$$ возрастает при $$x \in \mathbb{R},$$ а функция $$g(x)=3-\sqrt[4]{x}$$ убывает при $$x \ge 0.$$

   Проверим значение $$x=1$$:

   $$f(1)=2\cdot 1^3=2,$$
   $$g(1)=3-\sqrt[4]{1}=2.$$

   Следовательно, решение единственное: $$x=1.$$

Ответ

а) $$0,\,2$$; б) $$-1$$; в) $$0,\,3$$; г) $$1$$.