Упр.13.18 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Составьте уравнение касательной к графику данной функции, проходящей через точку $$B$$:
а) $$y=\sqrt{x+4}$$, $$B(0; 2{,}5)$$;
б) $$y=(2x-1)^2$$, $$B(0; -3)$$. - Решите неравенство:
а) $$y’<0$$, если $$y=-x^4+x^3-4$$;
б) $$y’>0$$, если $$y=\frac{x^3}{3}-3x^2+9x+7$$;
в) $$y’?0$$, если $$y=0{,}6x^{(1\ 2/3)}+1{,}5x^{(1+1/3)}-1$$;
г) $$y’>0$$, если $$y=x^4+x^3+6$$;
д) $$y’<0$$, если $$y=\frac{x^3}{3}-x^2+x-1$$;
е) $$y’?0$$, если $$y=\frac{2}{5}x^{1{,}25}-1\frac{2}{3}x^{0{,}75}$$.
а) $$y=\sqrt{x+4},\quad B(0;2{,}5).$$
Пусть касательная проведена в точке с абсциссой $$a$$. Тогда
$$y(a)=\sqrt{a+4},\qquad y'(a)=\frac{1}{2\sqrt{a+4}}.$$
Уравнение касательной:
$$y=\sqrt{a+4}+\frac{1}{2\sqrt{a+4}}(x-a).$$
Преобразуем:
$$y=\frac{x}{2\sqrt{a+4}}+\frac{a+8}{2\sqrt{a+4}}.$$
Так как касательная проходит через точку $$B(0;2{,}5)$$, получаем
$$2{,}5=\frac{a+8}{2\sqrt{a+4}}.$$
Отсюда
$$a+8=5\sqrt{a+4}.$$
Возведём в квадрат:
$$a^2+16a+64=25a+100,$$
$$a^2-9a-36=0,$$
$$D=9^2+4\cdot 36=225,$$
$$a_1=\frac{9-15}{2}=-3,\qquad a_2=\frac{9+15}{2}=12.$$
Для $$a=-3$$:
$$y=\frac{x}{2\sqrt{-3+4}}+\frac{-3+8}{2\sqrt{-3+4}}=\frac12x+2{,}5.$$
Для $$a=12$$:
$$y=\frac{x}{2\sqrt{12+4}}+\frac{12+8}{2\sqrt{12+4}}=\frac18x+2{,}5.$$
б) $$y=(2x-1)^2,\quad B(0;-3).$$
Пусть касательная проведена в точке с абсциссой $$a$$. Тогда
$$y(a)=(2a-1)^2,\qquad y'(a)=4(2a-1).$$
Уравнение касательной:
$$y=(2a-1)^2+4(2a-1)(x-a).$$
После преобразования:
$$y=(8a-4)x+(1-4a^2).$$
Так как касательная проходит через точку $$B(0;-3)$$, имеем
$$-3=1-4a^2,$$
$$4a^2=4,\qquad a=\pm 1.$$
При $$a=-1$$:
$$y=(-8-4)x+(1-4)=-12x-3.$$
При $$a=1$$:
$$y=(8-4)x+(1-4)=4x-3.$$
а) $$y=-x^4+x^3-4,\quad y'<0.$$
$$y’=-4x^3+3x^2<0,$$
$$4x^3-3x^2>0,$$
$$x^2(4x-3)>0.$$
Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0$$, получаем
$$4x-3>0,\qquad x>\frac34.$$
б) $$y=\frac{x^3}{3}-3x^2+9x+7,\quad y’>0.$$
$$y’=x^2-6x+9>0,$$
$$\left(x-3\right)^2>0.$$
Это верно при всех $$x$$, кроме $$x=3$$.
в) $$y=0{,}6x^{1\frac23}+1{,}5x^{1\frac13}-1,\quad y’\le 0.$$
$$y’=0{,}6\cdot \frac53 x^{\frac23}+1{,}5\cdot \frac43 x^{\frac13}\le 0,$$
$$x^{\frac23}+2x^{\frac13}\le 0,$$
$$x^{\frac13}\left(x^{\frac13}+2\right)\le 0.$$
Положим $$t=x^{\frac13}$$. Тогда
$$t(t+2)\le 0,$$
$$-2\le t\le 0.$$
Следовательно,
$$-8\le x\le 0.$$
г) $$y=x^4+x^3+6,\quad y’>0.$$
$$y’=4x^3+3x^2>0,$$
$$x^2(4x+3)>0.$$
Отсюда
$$x\ne 0,\qquad x>-\frac34.$$
д) $$y=\frac{x^3}{3}-x^2+x-1,\quad y'<0.$$
$$y’=x^2-2x+1<0,$$
$$\left(x-1\right)^2<0.$$
Квадрат числа не может быть отрицательным, значит решений нет.
е) $$y=\frac25x^{1{,}25}-\frac23x^{0{,}75},\quad y’\ge 0.$$
$$y’=\frac25\cdot 1{,}25x^{0{,}25}-\frac23\cdot 0{,}75x^{-0{,}25}\ge 0,$$
$$0{,}5x^{0{,}25}-0{,}5x^{-0{,}25}\ge 0,$$
$$x^{0{,}25}-x^{-0{,}25}\ge 0.$$
При $$x>0$$ умножим на $$x^{0{,}25}$$:
$$x^{0{,}5}-1\ge 0,$$
$$\sqrt{x}\ge 1,$$
$$x\ge 1.$$
Ответ
Касательные: а) $$y=\frac12x+2{,}5$$ или $$y=\frac18x+2{,}5$$; б) $$y=-12x-3$$ или $$y=4x-3$$.
Неравенства: а) $$\left(\frac34;+\infty\right)$$; б) $$(-\infty;3)\cup(3;+\infty)$$; в) $$[-8;0]$$; г) $$\left(-\frac34;0\right)\cup(0;+\infty)$$; д) решений нет; е) $$[1;+\infty)$$.
