Упр.12.2 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Составьте уравнение касательной к графику заданной функции в указанной точке: а) $$y=\arcsin(x),\ x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$; в) $$y=\arccos(x),\ x=\frac{1}{2}$$; б) $$y=\arctg(x),\ x=\frac{\sqrt{3}}{3}$$; г) $$y=\arcctg(x),\ x=-\sqrt{3}$$.
- Найдите производную функции: а) $$y=\left(\frac{x-3}{2}\right)^2$$; в) $$y=\left(\frac{-x-1}{3}\right)^3$$; д) $$y=\left(\frac{2x+1}{15}\right)^3$$; б) $$y=\left(\frac{4-x}{3}\right)^2$$; г) $$y=\left(\frac{x+3}{6}\right)^3$$; е) $$y=\left(\frac{2-5x}{4}\right)^2$$.
Уравнение касательной.
а) $$y=\arcsin x,\quad x_0=-\frac{\sqrt3}{2}$$
$$y_0=\arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=-\frac{\pi}{3}$$
$$y’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\quad y'(x_0)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac34}}=2$$
$$y+\frac{\pi}{3}=2\left(x+\frac{\sqrt3}{2}\right)$$
$$y=2x-\frac{\pi}{3}+\sqrt3$$
б) $$y=\arctg x,\quad x_0=\frac{\sqrt3}{3}$$
$$y_0=\arctg\left(\frac{\sqrt3}{3}\right)=\frac{\pi}{6}$$
$$y’=\frac{1}{1+x^2},\quad y'(x_0)=\frac{1}{1+\frac13}=\frac34$$
$$y-\frac{\pi}{6}=\frac34\left(x-\frac{\sqrt3}{3}\right)$$
$$y=\frac34x+\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt3}{4}$$
в) $$y=\arccos x,\quad x_0=\frac12$$
$$y_0=\arccos\left(\frac12\right)=\frac{\pi}{3}$$
$$y’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\quad y'(x_0)=-\frac{1}{\sqrt{1-\frac14}}=-\frac{2\sqrt3}{3}$$
$$y-\frac{\pi}{3}=-\frac{2\sqrt3}{3}\left(x-\frac12\right)$$
$$y=-\frac{2\sqrt3}{3}x+\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt3}{3}$$
г) $$y=\arcctg x,\quad x_0=-\sqrt3$$
$$y_0=\arcctg(-\sqrt3)=\pi-\arcctg\sqrt3=\frac{5\pi}{6}$$
$$y’=-\frac{1}{1+x^2},\quad y'(x_0)=-\frac{1}{1+3}=-\frac14$$
$$y-\frac{5\pi}{6}=-\frac14(x+\sqrt3)$$
$$y=-\frac14x+\frac{5\pi}{6}-\frac{\sqrt3}{4}$$
Производная функции.
а) $$y=\left(\frac{x-3}{2}\right)^2$$
$$y’=\frac12\cdot 2\left(\frac{x-3}{2}\right)=\frac{x-3}{2}$$
б) $$y=\left(\frac{4-x}{3}\right)^2$$
$$y’=-\frac13\cdot 2\left(\frac{4-x}{3}\right)=\frac{2(x-4)}{9}$$
в) $$y=\left(\frac{-x-1}{3}\right)^3$$
$$y’=\frac13\cdot 3\left(\frac{-x-1}{3}\right)^2\cdot(-1)=-\left(\frac{x+1}{3}\right)^2$$
г) $$y=\left(\frac{x+3}{6}\right)^3$$
$$y’=\frac16\cdot 3\left(\frac{x+3}{6}\right)^2=\frac12\left(\frac{x+3}{6}\right)^2$$
д) $$y=\left(\frac{2x+1}{15}\right)^3$$
$$y’=\frac{2}{15}\cdot 3\left(\frac{2x+1}{15}\right)^2=\frac{2(2x+1)^2}{1125}$$
е) $$y=\left(\frac{2-5x}{4}\right)^2$$
$$y’=-\frac54\cdot 2\left(\frac{2-5x}{4}\right)=\frac{5(5x-2)}{8}$$
Ответ
а) $$y=2x-\frac{\pi}{3}+\sqrt3$$;
б) $$y=\frac34x+\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt3}{4}$$;
в) $$y=-\frac{2\sqrt3}{3}x+\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt3}{3}$$;
г) $$y=-\frac14x+\frac{5\pi}{6}-\frac{\sqrt3}{4}$$.
а) $$y’=\frac{x-3}{2}$$;
б) $$y’=\frac{2(x-4)}{9}$$;
в) $$y’=-\left(\frac{x+1}{3}\right)^2$$;
г) $$y’=\frac12\left(\frac{x+3}{6}\right)^2$$;
д) $$y’=\frac{2(2x+1)^2}{1125}$$;
е) $$y’=\frac{5(5x-2)}{8}$$.
