Упр.12.13 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Составьте уравнение касательной к графику данной функции, проходящей через точку $$B$$: а) $$y=v(x+4)$$, $$B(0; 2,5)$$; б) $$y=(2x-1)^2$$, $$B(0; -3)$$.
а) Для функции $$y=\sqrt{x+4}$$ найдём производную:
$$y’=\frac{1}{2\sqrt{x+4}}.$$
Уравнение касательной в точке $$x=a$$ имеет вид:
$$y=\sqrt{a+4}+\frac{1}{2\sqrt{a+4}}(x-a).$$
Так как касательная проходит через точку $$B(0;2{,}5)$$, подставим её координаты:
$$2{,}5=\sqrt{a+4}-\frac{a}{2\sqrt{a+4}}.$$
Умножим на $$2\sqrt{a+4}$$:
$$5\sqrt{a+4}=2(a+4)-a=a+8.$$
Возведём в квадрат:
$$25(a+4)=(a+8)^2,$$
$$25a+100=a^2+16a+64,$$
$$a^2-9a-36=0.$$
$$D=81+144=225,$$
$$a_{1,2}=\frac{9\pm 15}{2}.$$
Получаем:
$$a_1=-3,\quad a_2=12.$$
Тогда уравнения касательных:
при $$a=-3$$
$$y=\frac{1}{2}x+2{,}5,$$
при $$a=12$$
$$y=\frac{1}{8}x+2{,}5.$$
б) Для функции $$y=(2x-1)^2$$ найдём производную:
$$y’=4(2x-1).$$
Уравнение касательной в точке $$x=a$$:
$$y=(2a-1)^2+4(2a-1)(x-a).$$
Раскроем скобки:
$$y=(8a-4)x+(1-4a^2).$$
Так как касательная проходит через точку $$B(0;-3)$$, подставим её координаты:
$$-3=1-4a^2,$$
$$4a^2=4,$$
$$a=\pm 1.$$
Тогда:
при $$a=1$$
$$y=4x-3,$$
при $$a=-1$$
$$y=-12x-3.$$
Ответ
а) $$y=\frac{1}{2}x+2{,}5$$; $$y=\frac{1}{8}x+2{,}5$$.
б) $$y=-12x-3$$; $$y=4x-3$$.
