Упр.11.20 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Решите уравнение:
а) $$2^{x^2+2x-5}-2^{8-2x-x^2}=7$$;
б) $$8+3^{2-x-x^2}=3^{x^2+x}$$. - Решите неравенство: $$\log_5(x^2+5x)+2?\log_5(x^2+4x-5)-\log_{0,2}\left(\frac{x}{25}\right)$$.
а) Пусть $$y=x^2+2x-5.$$ Тогда уравнение принимает вид
$$2^y-2^{3-y}=7.$$
Умножим на $$2^y$$:
$$2^{2y}-7\cdot 2^y-8=0.$$
Обозначим $$t=2^y$$, тогда
$$t^2-7t-8=0.$$
$$D=49+32=81,$$
$$t_1=\frac{7-9}{2}=-1,\qquad t_2=\frac{7+9}{2}=8.$$
Так как $$t=2^y>0,$$ то подходит только $$t=8.$$ Тогда
$$2^y=8=2^3,$$
откуда $$y=3.$$
Возвращаемся к замене:
$$x^2+2x-5=3,$$
$$x^2+2x-8=0,$$
$$D=4+32=36,$$
$$x_1=\frac{-2-6}{2}=-4,\qquad x_2=\frac{-2+6}{2}=2.$$
б) Пусть $$y=x^2+x.$$ Тогда
$$8+3^{2-y}=3^y.$$
Умножим на $$3^y$$:
$$8\cdot 3^y+3^2=3^{2y}.$$
Обозначим $$t=3^y,$$ тогда
$$t^2-8t-9=0.$$
$$D=64+36=100,$$
$$t_1=\frac{8-10}{2}=-1,\qquad t_2=\frac{8+10}{2}=9.$$
Так как $$t=3^y>0,$$ то подходит только $$t=9.$$ Тогда
$$3^y=9=3^2,$$
откуда $$y=2.$$
Возвращаемся к замене:
$$x^2+x=2,$$
$$x^2+x-2=0,$$
$$D=1+8=9,$$
$$x_1=\frac{-1-3}{2}=-2,\qquad x_2=\frac{-1+3}{2}=1.$$
Неравенство. Преобразуем выражение:
$$\log_5(x^2+5x)+2\ge \log_5(x^2+4x-5)-\log_{0,2}\frac{x}{25}.$$
Так как $$\log_{0,2}a=-\log_5 a,$$ получаем
$$\log_5(x^2+5x)+2\ge \log_5(x^2+4x-5)+\log_5\frac{x}{25}.$$
Перенесём логарифмы в одну сторону:
$$\log_5\frac{x^2+5x}{x^2+4x-5}\ge \log_5\frac{25}{x}-2.$$
Так как $$2=\log_5 25,$$ то
$$\log_5\frac{x^2+5x}{x^2+4x-5}\ge \log_5\frac{1}{x}-\log_5 25=\log_5\frac{1}{25x}.$$
Следовательно,
$$\frac{x^2+5x}{x^2+4x-5}\ge \frac{1}{25x}.$$
С учётом области определения:
$$x>0,\quad x^2+5x>0,\quad x^2+4x-5>0.$$
Из последнего:
$$x^2+4x-5=(x+5)(x-1)>0,$$
при $$x>0$$ получаем $$x>1.$$
На этой области неравенство сводится к
$$\frac{x}{x-1}\ge \frac{1}{25x}.$$
Так как $$x>1,$$ умножаем на положительное $$25x(x-1):$$
$$25x^2\ge x-1,$$
$$25x^2-x+1\ge 0.$$
Дискриминант:
$$D=1-100=-99<0.$$
Значит, $$25x^2-x+1>0$$ при всех $$x,$$ удовлетворяющих ОДЗ. Поэтому решение неравенства:
$$x>1.$$
Ответ
а) $$-4,\ 2$$;
б) $$-2,\ 1$$;
неравенство: $$\left(1;\,+\infty\right).$$
