Упр.11.12 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Найдите абсциссы точек, в которых угловой коэффициент касательной к графику функции $$y=g(x)$$ равен $$k$$:
а) $$g(x)=3\sin(x)-\cos(x),\quad k=0$$;
б) $$g(x)=-2\cos(x)+x,\quad k=2$$;
в) $$g(x)=3{,}5x+3\operatorname{ctg}(x),\quad k=-\frac{1}{2}$$;
г) $$g(x)=\sqrt{3}\sin(x)+\cos(x),\quad k=0$$;
д) $$g(x)=\operatorname{tg}(x)-3x,\quad k=1$$;
е) $$g(x)=\cos(x)\sin(x)-3,\quad k=\frac{1}{2}$$.
Найдём точки, в которых угловой коэффициент касательной равен заданному числу. Для этого решаем уравнение $$g'(x)=k.$$
$$g(x)=3\sin x-\cos x,\quad k=0.$$
$$g'(x)=3\cos x+\sin x.$$
Решаем уравнение:
$$3\cos x+\sin x=0$$
$$3+\tg x=0$$
$$\tg x=-3.$$
Отсюда
$$x=-\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$g(x)=-2\cos x+x,\quad k=2.$$
$$g'(x)=2\sin x+1.$$
Решаем уравнение:
$$2\sin x+1=2$$
$$\sin x=\frac12.$$
Тогда
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$g(x)=3{,}5x+3\ctg x,\quad k=-\frac12.$$
$$g'(x)=3{,}5-\frac{3}{\sin^2 x}.$$
Решаем уравнение:
$$3{,}5-\frac{3}{\sin^2 x}=-\frac12$$
$$\frac{3}{\sin^2 x}=4$$
$$\sin^2 x=\frac34.$$
Тогда
$$\cos 2x=-\frac12.$$
Следовательно,
$$2x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$
$$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$g(x)=\sqrt3\sin x+\cos x,\quad k=0.$$
$$g'(x)=\sqrt3\cos x-\sin x.$$
Решаем уравнение:
$$\sqrt3\cos x-\sin x=0$$
$$\tg x=\sqrt3.$$
Отсюда
$$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$g(x)=\tg x-3x,\quad k=1.$$
$$g'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}-3.$$
Решаем уравнение:
$$\frac{1}{\cos^2 x}-3=1$$
$$\frac{1}{\cos^2 x}=4$$
$$\cos^2 x=\frac14.$$
Тогда
$$\cos x=\pm\frac12.$$
Следовательно,
$$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$g(x)=\cos x\sin x-3,\quad k=\frac12.$$
$$g'(x)=-\sin^2 x+\cos^2 x.$$
Решаем уравнение:
$$\cos^2 x-\sin^2 x=\frac12$$
$$\cos 2x=\frac12.$$
Тогда
$$2x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n$$
$$x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$x=-\arctg 3+\pi n$$; б) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$; в) $$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n$$; г) $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n$$; д) $$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n$$; е) $$x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.
