Упр.10.26 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Составьте уравнение той касательной к графику функции $$y=\frac{1}{x^2}$$, $$x\in(-\infty;0)$$, которая отсекает от осей координат треугольник площадью $$\frac{9}{8}$$.
2. Решите уравнение:
   а) $$\log_3(x)-2\log_x(3)=-1$$;
   в) $$\log_7(x)-6\log_x(7)=1$$;
   б) $$\log_5(x)+2\log_x(5)=3$$;
   г) $$\log_2(x)+9\log_x(2)=10$$.

1) Касательная к графику $$y=\frac{1}{x^2},\ x<0$$

Найдём производную:

$$y’=-\frac{2}{x^3}.$$

Пусть касательная проведена в точке $$x=a,\ a<0$$. Тогда

$$y(a)=\frac{1}{a^2}, \qquad y'(a)=-\frac{2}{a^3}.$$

Уравнение касательной:

$$y=\frac{1}{a^2}-\frac{2}{a^3}(x-a)=\frac{3a-2x}{a^3}.$$

Найдём точки пересечения с осями координат:

с осью $$Ox$$:

$$\frac{3a-2x}{a^3}=0 \Rightarrow x=\frac{3}{2}a;$$

с осью $$Oy$$:

$$y(0)=\frac{3a}{a^3}=\frac{3}{a^2}.$$

Площадь треугольника:

$$S=\frac{1}{2}\left|\frac{3}{2}a\right|\left|\frac{3}{a^2}\right|=\frac{9}{4|a|}.$$

По условию $$S=\frac{9}{8}$$, значит

$$\frac{9}{4|a|}=\frac{9}{8}, \qquad |a|=2.$$

Так как $$a<0$$, то $$a=-2$$.

Подставим в уравнение касательной:

$$y=\frac{3(-2)-2x}{(-2)^3}=\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}.$$

2) Решим уравнения

1. $$\log_3 x-2\log_x 3=-1.$$

   Положим $$t=\log_3 x$$. Тогда $$\log_x 3=\frac{1}{t}$$, и получаем

   $$t-\frac{2}{t}=-1.$$

   Умножим на $$t$$:

   $$t^2+t-2=0.$$

   $$t_1=-2,\quad t_2=1.$$

   Тогда

   $$\log_3 x=-2 \Rightarrow x=3^{-2}=\frac{1}{9},$$

   $$\log_3 x=1 \Rightarrow x=3.$$

2. $$\log_5 x+2\log_x 5=3.$$

   Положим $$t=\log_5 x$$, тогда $$\log_x 5=\frac{1}{t}$$:

   $$t+\frac{2}{t}=3.$$

   Умножим на $$t$$:

   $$t^2-3t+2=0.$$

   $$t_1=1,\quad t_2=2.$$

   Следовательно,

   $$\log_5 x=1 \Rightarrow x=5,$$

   $$\log_5 x=2 \Rightarrow x=25.$$

3. $$\log_7 x-6\log_x 7=1.$$

   Положим $$t=\log_7 x$$, тогда $$\log_x 7=\frac{1}{t}$$:

   $$t-\frac{6}{t}=1.$$

   Умножим на $$t$$:

   $$t^2-t-6=0.$$

   $$t_1=-2,\quad t_2=3.$$

   Тогда

   $$\log_7 x=-2 \Rightarrow x=7^{-2}=\frac{1}{49},$$

   $$\log_7 x=3 \Rightarrow x=7^3=343.$$

4. $$\log_2 x+9\log_x 2=10.$$

   Положим $$t=\log_2 x$$, тогда $$\log_x 2=\frac{1}{t}$$:

   $$t+\frac{9}{t}=10.$$

   Умножим на $$t$$:

   $$t^2-10t+9=0.$$

   $$t_1=1,\quad t_2=9.$$

   Следовательно,

   $$\log_2 x=1 \Rightarrow x=2,$$

   $$\log_2 x=9 \Rightarrow x=512.$$

Ответ

$$y=\frac{1}{4}x+\frac{3}{4};$$

а) $$x=\frac{1}{9},\ 3$$; б) $$x=5,\ 25$$; в) $$x=\frac{1}{49},\ 343$$; г) $$x=2,\ 512$$.