Упр.10.23 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
Решите неравенство $$f'(x)>0$$, если:
а) $$f(x)=x^2-x^3$$; г) $$f(x)=\frac{1}{3}x^3+3x^2$$; б) $$f(x)=\frac{x^2+5}{3x-2}$$; д) $$f(x)=\frac{x^2+12}{2x+1}$$; в) $$f(x)=\sqrt{x}(x^2-8x)$$; е) $$f(x)=\sqrt{x}(6x-x^2)$$.
а) $$f(x)=x^2-x^3$$
$$f'(x)=2x-3x^2$$
$$2x-3x^2>0$$
$$x(2-3x)>0$$
Отсюда
$$0<x<\frac{2}{3}$$
б) $$f(x)=\frac{x^2+5}{3x-2}$$
$$f'(x)=\frac{2x(3x-2)-3(x^2+5)}{(3x-2)^2}$$
$$\frac{6x^2-4x-3x^2-15}{(3x-2)^2}>0$$
$$3x^2-4x-15>0$$
$$D=16+180=196$$
$$x_1=\frac{4-14}{6}=-\frac{5}{3}, \qquad x_2=\frac{4+14}{6}=3$$
Тогда
$$\left(x+\frac{5}{3}\right)(x-3)>0$$
$$x<-\frac{5}{3}, \qquad x>3$$
С учётом области определения $$x\neq \frac{2}{3}$$ получаем
$$(-\infty;-\frac{5}{3})\cup(3;+\infty)$$
в) $$f(x)=\sqrt{x}(x^2-8x)$$
Область определения: $$x\ge 0$$.
$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}(x^2-8x)+\sqrt{x}(2x-8)$$
$$\frac{1}{2\sqrt{x}}(x^2-8x)+\frac{2x-8}{1}\sqrt{x}>0$$
После приведения к общему виду:
$$5x-24>0$$
$$x>\frac{24}{5}$$
г) $$f(x)=\frac{1}{3}x^3+3x^2$$
$$f'(x)=x^2+6x$$
$$x(x+6)>0$$
Отсюда
$$x<-6 \qquad \text{или} \qquad x>0$$
д) $$f(x)=\frac{x^2+12}{2x+1}$$
$$f'(x)=\frac{2x(2x+1)-2(x^2+12)}{(2x+1)^2}$$
$$\frac{4x^2+2x-2x^2-24}{(2x+1)^2}>0$$
$$2x^2+2x-24>0$$
$$x^2+x-12>0$$
$$D=1+48=49$$
$$x_1=-4,\qquad x_2=3$$
$$(x+4)(x-3)>0$$
$$x<-4 \qquad \text{или} \qquad x>3$$
С учётом области определения $$x\neq -\frac{1}{2}$$ получаем
$$(-\infty;-4)\cup(3;+\infty)$$
е) $$f(x)=\sqrt{x}(6x-x^2)$$
Область определения: $$x\ge 0$$.
$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}(6x-x^2)+\sqrt{x}(6-2x)$$
После упрощения получаем
$$18-5x>0$$
$$x<\frac{18}{5}$$
С учётом области определения:
$$0<x<\frac{18}{5}$$
Ответ
а) $$\left(0;\frac{2}{3}\right)$$;
б) $$(-\infty;-\frac{5}{3})\cup(3;+\infty)$$;
в) $$\left(\frac{24}{5};+\infty\right)$$;
г) $$(-\infty;-6)\cup(0;+\infty)$$;
д) $$(-\infty;-4)\cup(3;+\infty)$$;
е) $$\left(0;\frac{18}{5}\right)$$.
