Дополнительная задача 13 Глава 2 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Для функции $$y=y(x)=f(kx+m)$$ обоснуйте, что:
   а) $$y(0)=f(m),\quad y(1)=f(k+m);$$
   б) $$y(x+\Delta x)=f((kx+m)+k\Delta x);$$
   в) $$\left(\Delta x>0\right)\lim\bigl(y(x+\Delta x)\bigr)=y(x);$$
   г) $$\Delta y=f((kx+m)+k\Delta x)-f(kx+m);$$
   д) $$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f((kx+m)+k\Delta x)-f(kx+m)}{k\Delta x}\cdot\frac{k\Delta x}{\Delta x};$$
   е) $$\bigl(f(kx+m)\bigr)’=kf'(kx+m).$$

Пусть $$y=y(x)=f(kx+m).$$ Тогда:

а) при $$x=0$$ получаем

$$y(0)=f(k\cdot 0+m)=f(m),$$

а при $$x=1$$

$$y(1)=f(k\cdot 1+m)=f(k+m).$$

б) для приращения аргумента $$\Delta x$$ имеем

$$y(x+\Delta x)=f(k(x+\Delta x)+m)=f((kx+m)+k\Delta x).$$

в) если $$\Delta x\to 0,$$ то $$x+\Delta x\to x,$$ значит

$$\lim_{\Delta x\to 0} y(x+\Delta x)=y(x).$$

г) приращение функции равно

$$\Delta y=y(x+\Delta x)-y(x)=f((kx+m)+k\Delta x)-f(kx+m).$$

д)

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f((kx+m)+k\Delta x)-f(kx+m)}{\Delta x} = \frac{f((kx+m)+k\Delta x)-f(kx+m)}{k\Delta x}\cdot k.$$

е) тогда производная:

$$(f(kx+m))’=y'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}\left(\frac{f((kx+m)+k\Delta x)-f(kx+m)}{k\Delta x}\cdot k\right).$$

Переходя к пределу, получаем

$$(f(kx+m))’=k\,f'(kx+m).$$

Ответ

$$y(0)=f(m),\quad y(1)=f(k+m),\quad y(x+\Delta x)=f((kx+m)+k\Delta x),$$

$$\Delta y=f((kx+m)+k\Delta x)-f(kx+m),\quad \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f((kx+m)+k\Delta x)-f(kx+m)}{k\Delta x}\cdot k,$$

$$\bigl(f(kx+m)\bigr)’=k\,f'(kx+m).$$