Ответы на вопросы Глава 1 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Числовой последовательностью называют функцию натурального аргумента, то есть функцию вида $$y=f(n), \quad n \in \mathbb{N}.$$

2. Последовательность $$\{y_n\}$$ называют возрастающей, если каждый следующий член больше предыдущего:

   $$y_1<y_2<y_3<\dots<y_n<y_{n+1}<\dots$$

   Последовательность $$\{y_n\}$$ называют убывающей, если каждый следующий член меньше предыдущего:

   $$y_1>y_2>y_3>\dots>y_n>y_{n+1}>\dots$$

3. Последовательность $$\{y_n\}$$ называется ограниченной сверху, если существует число $$M$$ такое, что для любого $$n$$ выполняется неравенство $$y_n \le M$$. Число $$M$$ называют верхней границей последовательности.

   Последовательность $$\{y_n\}$$ называется ограниченной снизу, если существует число $$m$$ такое, что для любого $$n$$ выполняется неравенство $$y_n \ge m$$. Число $$m$$ называют нижней границей последовательности.

4. Примеры последовательностей:

   ограничена только сверху: $$y_n=-n,\quad y_n=-n^5;$$

   ограничена только снизу: $$y_n=n+1,\quad y_n=\sqrt{n}.$$

5. Да, может.

   Примеры:

   возрастает и не ограничена сверху: $$y_n=2^{n+1};$$

   убывает и не ограничена снизу: $$y_n=18-n^2.$$

6. Окрестностью точки $$a$$ радиусом $$r$$ называют числовой промежуток $$\left(a-r;\,a+r\right).$$

7. Число $$b$$ называют пределом последовательности $$\{x_n\}$$, если в любой окрестности точки $$b$$ содержатся все члены этой последовательности, начиная с некоторого номера.

   Если последовательность имеет предел, то её называют сходящейся; если не имеет предела — расходящейся.

8. Бесконечная геометрическая прогрессия сходится при $$|q|<1.$$ В этом случае

   $$\lim_{n\to\infty} b_n=\lim_{n\to\infty} b_1q^{\,n-1}=0.$$

9. Да, из сходимости последовательности следует её ограниченность.

   Обратное неверно: ограниченная последовательность может не иметь предела, например $$y_n=\sin n$$ или $$y_n=(-1)^n.$$

10. Если существует предел функции при $$x\to +\infty$$ или $$x\to -\infty$$, то соответствующая горизонтальная асимптота имеет вид

    $$y=\lim_{x\to +\infty} f(x) \quad \text{или} \quad y=\lim_{x\to -\infty} f(x).$$

11. Если $$\lim_{n\to\infty} x_n=b$$ и $$\lim_{n\to\infty} y_n=c,$$ то

    $$\lim_{n\to\infty}(x_n+y_n)=b+c,$$

    $$\lim_{n\to\infty}(x_ny_n)=bc,$$

    $$\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}=\frac{b}{c}\quad (c\ne 0),$$

    $$\lim_{n\to\infty}(k x_n)=kb.$$

    Если $$\lim_{x\to\infty} f(x)=b$$ и $$\lim_{x\to\infty} g(x)=c,$$ то

    $$\lim_{x\to\infty}(f(x)+g(x))=b+c,$$

    $$\lim_{x\to\infty}(f(x)g(x))=bc,$$

    $$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{b}{c}\quad (c\ne 0),$$

    $$\lim_{x\to\infty}(k f(x))=kb.$$

12. Пусть функция $$y=f(x)$$ определена в точках $$x_0$$ и $$x_1.$$ Разность $$x_1-x_0$$ называют приращением аргумента при переходе от $$x_0$$ к $$x_1.$$

13. Разность $$f(x_1)-f(x_0)$$ называют приращением функции при переходе аргумента от $$x_0$$ к $$x_1.$$

14. Функция $$y=f(x)$$ непрерывна в точке $$x=a,$$ если

    $$\lim_{x\to a} f(x)=f(a).$$

    Эквивалентно, при $$\Delta x\to 0$$ приращение функции стремится к нулю:

    $$\Delta y\to 0 \quad \text{при} \quad \Delta x\to 0.$$

Ответ

1) Числовая последовательность — функция натурального аргумента. 2) Возрастающая: каждый следующий член больше предыдущего; убывающая: каждый следующий член меньше предыдущего. 3) Ограниченность сверху/снизу определяется существованием верхней/нижней границы. 4) Примеры: $$-n,\,-n^5$$; $$n+1,\,\sqrt n$$. 5) Да, может: $$2^{n+1}$$ и $$18-n^2$$. 6) $$\left(a-r;\,a+r\right)$$. 7) Предел последовательности — число, к которому стремятся её члены; сходящаяся последовательность имеет предел. 8) При $$|q|<1$$. 9) Да; нет. 10) Предел при бесконечности равен ординате горизонтальной асимптоты. 11) Сумма, произведение, частное и постоянный множитель переходят к пределам по обычным правилам. 12) $$x_1-x_0$$. 13) $$f(x_1)-f(x_0)$$. 14) $$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$$, или $$\Delta y\to 0$$ при $$\Delta x\to 0$$.