Упр.1.19 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Найдите наибольшее значение $$r$$, при котором в окрестности точки $$a$$ радиусом $$r$$ нет ни одного члена последовательности $$x_n=1+\frac{1}{n}$$: а) $$a=3$$; г) $$a=0{,}99$$; б) $$a=2{,}01$$; д) $$a=1{,}12$$; в) $$a=0$$; е) $$a=1$$.
2. Решите неравенство: а) $$(x^2-2x-4)(x-2)^2?0$$; в) $$(x^2+4x-3)(x-5)^2?0$$; б) $$\frac{x^2-8x+11}{(x-5)^2}?0$$; г) $$\frac{(x-4)^2}{x^2-6x+7}?0$$.

1. Для последовательности $$x_n=1+\frac{1}{n}$$ все члены при $$n\ge 1$$ лежат правее числа $$1$$ и стремятся к нему.
   Поэтому наибольшее значение радиуса $$r$$ равно расстоянию от точки $$a$$ до ближайшего члена последовательности.

   а) $$a=3$$: ближайший член последовательности — $$x_1=2$$, значит
   $$r=|3-2|=1.$$

   б) $$a=2{,}01$$: ближайший член — $$x_1=2$$, значит
   $$r=|2{,}01-2|=0{,}01.$$

   в) $$a=0$$: ближайшая точка последовательности — предел $$1$$, значит
   $$r=|0-1|=1.$$

   г) $$a=0{,}99$$: ближайшая точка последовательности — $$1$$, значит
   $$r=|0{,}99-1|=0{,}01.$$

   д) $$a=1{,}12$$: ближайший член последовательности — $$x_8=1+\frac18=1{,}125$$, значит
   $$r=|1{,}125-1{,}12|=0{,}005.$$

   е) $$a=1$$: точка $$1$$ является пределом последовательности, поэтому
   $$r=|1-1|=0.$$

2. Решим неравенства.

   а)
   $$(x^2-2x-4)(x-2)^2\ge 0.$$
   Так как $$(x-2)^2\ge 0$$ при всех $$x$$, то знак произведения определяется множителем $$x^2-2x-4$$, а также точкой $$x=2$$.
   Найдём корни квадратного трёхчлена:
   $$x^2-2x-4=0,\quad D=4+16=20,$$
   $$x=\frac{2\pm\sqrt{20}}{2}=1\pm\sqrt5.$$
   Тогда
   $$x^2-2x-4\ge 0 \quad \text{при} \quad x\le 1-\sqrt5 \ \text{или}\ x\ge 1+\sqrt5.$$
   Кроме того, при $$x=2$$ произведение равно нулю.

   Ответ:
   $$(-\infty;1-\sqrt5]\cup\{2\}\cup[1+\sqrt5;+\infty).$$

   б)
   $$\frac{x^2-8x+11}{(x-5)^2}\le 0.$$
   При $$x\ne 5$$ знаменатель положителен, значит нужно решить
   $$x^2-8x+11\le 0.$$
   Найдём корни:
   $$D=64-44=20,\quad x=\frac{8\pm\sqrt{20}}{2}=4\pm\sqrt5.$$
   Тогда
   $$4-\sqrt5\le x\le 4+\sqrt5,$$
   но $$x=5$$ исключается из области определения.

   Ответ:
   $$[4-\sqrt5;5)\cup(5;4+\sqrt5].$$

   в)
   $$(x^2+4x-3)(x-5)^2\le 0.$$
   Так как $$(x-5)^2\ge 0$$, то нужно, чтобы
   $$x^2+4x-3\le 0,$$
   либо $$x=5$$.
   Решим квадратное неравенство:
   $$x^2+4x-3=0,\quad D=16+12=28,$$
   $$x=\frac{-4\pm\sqrt{28}}{2}=-2\pm\sqrt7.$$
   Значит,
   $$-2-\sqrt7\le x\le -2+\sqrt7,$$
   и отдельно $$x=5$$.

   Ответ:
   $$[-2-\sqrt7;-2+\sqrt7]\cup\{5\}.$$

   г)
   $$\frac{(x-4)^2}{x^2-6x+7}\ge 0.$$
   Числитель неотрицателен при всех $$x$$ и равен нулю при $$x=4$$.
   Знаменатель должен быть положительным:
   $$x^2-6x+7>0.$$
   Найдём его корни:
   $$D=36-28=8,\quad x=\frac{6\pm\sqrt8}{2}=3\pm\sqrt2.$$
   Тогда
   $$x^2-6x+7>0 \quad \text{при} \quad x<3-\sqrt2 \ \text{или}\ x>3+\sqrt2.$$
   Точка $$x=4$$ также подходит, так как даёт нуль в числителе и положительный знаменатель.

   Ответ:
   $$(-\infty;3-\sqrt2)\cup\{4\}\cup(3+\sqrt2;+\infty).$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$0{,}01$$; в) $$1$$; г) $$0{,}01$$; д) $$0{,}005$$; е) $$0$$.

а) $$(-\infty;1-\sqrt5]\cup\{2\}\cup[1+\sqrt5;+\infty)$$;
б) $$[4-\sqrt5;5)\cup(5;4+\sqrt5]$$;
в) $$[-2-\sqrt7;-2+\sqrt7]\cup\{5\}$$;
г) $$(-\infty;3-\sqrt2)\cup\{4\}\cup(3+\sqrt2;+\infty)$$.