Упр.983 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. В треугольнике, площадь которого равна $$12\ \text{см}^2$$, середины сторон соединены отрезками. Во вновь полученном треугольнике точно так же образован новый треугольник и т. д. Найти сумму площадей всех получающихся таким построением треугольников.

Стороны каждого следующего треугольника вдвое меньше соответствующих сторон предыдущего, значит, все получающиеся треугольники подобны, а коэффициент подобия равен $$k=\frac12.$$

Площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициента подобия, поэтому площади треугольников образуют геометрическую прогрессию с первым членом $$b_1=12$$ и знаменателем

$$q=k^2=\left(\frac12\right)^2=\frac14.$$

Сумма всех площадей равна сумме бесконечной геометрической прогрессии:

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{12}{1-\frac14}=\frac{12}{\frac34}=16.$$

Ответ

$$16\text{ см}^2$$