Упр.980 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти четыре числа, зная, что первые три из них являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии, а последние три — арифметической прогрессии. Сумма первого и четвёртого чисел равна 16, а сумма второго и третьего равна 12.

Обозначим числа через $$a, b, c, d$$. Тогда по условию

$$a+d=16,\qquad b+c=12.$$

Отсюда

$$a=16-d,\qquad c=12-b.$$

Так как числа $$b, c, d$$ — последовательные члены арифметической прогрессии, то

$$c=\frac{b+d}{2}.$$

Подставим $$c=12-b$$:

$$2(12-b)=b+d,$$

$$24-2b=b+d,$$

$$d=24-3b.$$

Тогда

$$a=16-d=16-(24-3b)=3b-8.$$

Так как числа $$a, b, c$$ — последовательные члены геометрической прогрессии, то

$$b^2=ac.$$

Подставим найденные выражения:

$$b^2=(3b-8)(12-b).$$

Раскроем скобки:

$$b^2=36b-3b^2-96+8b,$$

$$4b^2-44b+96=0,$$

$$b^2-11b+24=0,$$

$$\left(b-3\right)\left(b-8\right)=0.$$

Значит, $$b=3$$ или $$b=8$$.

1) Если $$b=3$$, то

$$c=12-3=9,\qquad d=24-3\cdot 3=15,\qquad a=3\cdot 3-8=1.$$

Получаем числа $$1, 3, 9, 15$$.

2) Если $$b=8$$, то

$$c=12-8=4,\qquad d=24-3\cdot 8=0,\qquad a=3\cdot 8-8=16.$$

Получаем числа $$16, 8, 4, 0$$.

Ответ

$$1, 3, 9, 15$$ или $$16, 8, 4, 0$$.