Упр.952 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Система: $$3x+y+1+7\cdot 3y-2=8$$.
2. Система: $$2x+y+1+7\cdot 2y-5=4$$.

1. Из второго уравнения:

   $$\sqrt{x+y^2}=x+y$$

   Возведём в квадрат:

   $$x+y^2=x^2+2xy+y^2$$

   $$x^2+2xy-x=0$$

   $$x(x+2y-1)=0$$

   Отсюда либо $$x=0$$, либо $$x=1-2y$$.

   1) Если $$x=0$$, то из первого уравнения:

   $$3^{x+y+1}+7\cdot 3^{y-2}=8$$

   $$3^{y+1}+7\cdot 3^{y-2}=8$$

   $$3\cdot 3^y+7\cdot \frac{3^y}{9}=8$$

   $$3^y\left(3+\frac79\right)=8$$

   $$3^y\cdot \frac{34}{9}=8$$

   $$3^y=\frac{36}{17}$$

   $$y=\log_3\frac{36}{17}$$

   Получаем точку $$\left(0;\log_3\frac{36}{17}\right)$$.

   2) Если $$x=1-2y$$, то из первого уравнения:

   $$3^{(1-2y)+y+1}+7\cdot 3^{y-2}=8$$

   $$3^{2-y}+7\cdot 3^{y-2}=8$$

   Положим $$t=3^y$$, тогда $$t>0$$ и $$3^{2-y}=\frac{9}{t}$$, $$3^{y-2}=\frac{t}{9}$$. Получаем:

   $$\frac{9}{t}+7\cdot \frac{t}{9}=8$$

   $$81+7t^2=72t$$

   $$7t^2-72t+81=0$$

   $$D=72^2-4\cdot 7\cdot 81=2916$$

   $$t_1=\frac{72-54}{14}=\frac97,\qquad t_2=\frac{72+54}{14}=9$$

   Тогда:

   $$3^y=\frac97 \Rightarrow y=\log_3\frac97,\qquad x=1-2\log_3\frac97=\log_3\frac{49}{27}$$

   $$3^y=9 \Rightarrow y=2,\qquad x=1-4=-3$$

   Проверяем область определения: $$x+y\ge 0$$. Точка $$(-3;2)$$ не подходит, так как $$-3+2<0$$.

   Остаётся точка $$\left(\log_3\frac{49}{27};\log_3\frac97\right)$$.

2. Из второго уравнения:

   $$\sqrt{2x+y^2}=x+y$$

   Возведём в квадрат:

   $$2x+y^2=x^2+2xy+y^2$$

   $$x^2+2xy-2x=0$$

   $$x(x+2y-2)=0$$

   Отсюда либо $$x=0$$, либо $$x=2-2y$$.

   1) Если $$x=0$$, то из первого уравнения:

   $$2^{y+1}+7\cdot 2^{y-5}=4$$

   $$2\cdot 2^y+7\cdot \frac{2^y}{32}=4$$

   $$2^y\left(2+\frac{7}{32}\right)=4$$

   $$2^y\cdot \frac{71}{32}=4$$

   $$2^y=\frac{128}{71}$$

   $$y=\log_2\frac{128}{71}$$

   Получаем точку $$\left(0;\log_2\frac{128}{71}\right)$$.

   2) Если $$x=2-2y$$, то из первого уравнения:

   $$2^{(2-2y)+y+1}+7\cdot 2^{y-5}=4$$

   $$2^{3-y}+7\cdot 2^{y-5}=4$$

   Положим $$t=2^y$$, тогда $$t>0$$ и $$2^{3-y}=\frac{8}{t}$$, $$2^{y-5}=\frac{t}{32}$$. Получаем:

   $$\frac{8}{t}+7\cdot \frac{t}{32}=4$$

   $$256+7t^2=128t$$

   $$7t^2-128t+256=0$$

   $$D=128^2-4\cdot 7\cdot 256=9216$$

   $$t_1=\frac{128-96}{14}=\frac{16}{7},\qquad t_2=\frac{128+96}{14}=16$$

   Тогда:

   $$2^y=\frac{16}{7}\Rightarrow y=\log_2\frac{16}{7},\qquad x=2-2\log_2\frac{16}{7}=2\log_2 7-6$$

   $$2^y=16\Rightarrow y=4,\qquad x=2-8=-6$$

   Проверяем область определения: $$x+y\ge 0$$. Точка $$(-6;4)$$ не подходит, так как $$-6+4<0$$.

   Остаётся точка $$\left(2\log_2 7-6;\,4-\log_2 7\right)$$.

Ответ

1) $$\left(0;\log_3\frac{36}{17}\right),\ \left(\log_3\frac{49}{27};\log_3\frac97\right)$$;

2) $$\left(0;\log_2\frac{128}{71}\right),\ \left(2\log_2 7-6;\,4-\log_2 7\right)$$.