Упр.947 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Система $$\begin{cases}9^x\cdot 3^y=9,\\ \sqrt{y}-\sqrt{x}=1.\end{cases}$$

Решим систему:

$$\begin{cases} 9^x \cdot 3^y = 9,\\ \sqrt{y}-\sqrt{x}=1. \end{cases}$$

Преобразуем первое уравнение:

$$9^x=(3^2)^x=3^{2x}, \qquad 9=3^2,$$

тогда

$$3^{2x}\cdot 3^y=3^2,$$

$$3^{2x+y}=3^2,$$

$$2x+y=2,$$

$$y=2-2x.$$

Подставим во второе уравнение:

$$\sqrt{2-2x}-\sqrt{x}=1.$$

Перенесём:

$$\sqrt{2-2x}=1+\sqrt{x}.$$

Возведём в квадрат:

$$2-2x=1+2\sqrt{x}+x.$$

$$2\sqrt{x}=1-3x.$$

Снова возведём в квадрат:

$$4x=(1-3x)^2,$$

$$4x=1-6x+9x^2,$$

$$9x^2-10x+1=0.$$

Найдём корни:

$$D=100-36=64,$$

$$x_{1,2}=\frac{10\pm 8}{18}.$$

Отсюда

$$x_1=1,\qquad x_2=\frac19.$$

Найдём соответствующие значения $$y$$:

$$y=2-2x.$$

Если $$x=1,$$ то $$y=0.$$

Если $$x=\frac19,$$ то

$$y=2-\frac{2}{9}=\frac{16}{9}.$$

Проверка показывает, что оба полученных решения подходят.

Ответ

$$(1;0),\ \left(\frac19;\frac{16}{9}\right)$$