Упр.936 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$(a+b)(ab+1)\geq 4ab,\quad a>0,\ b>0.$$
2. $$a^4+6a^2b^2+b^4>4ab(a^2+b^2),\quad a\ne b.$$

1. Положим $$y=ab$$. Тогда

   $$(a+b)(ab+1)\ge 4ab$$

   равносильно

   $$\left(\frac{y}{b}+b\right)(y+1)\ge 4y.$$

   После преобразований получаем

   $$\frac{y^2}{b}+\frac{y}{b}+by+b-4y\ge 0,$$

   $$\frac{y^2+y+b^2y+b^2-4by}{b}\ge 0,$$

   $$\frac{(y-b)^2+y(1-b)^2}{b}\ge 0.$$

   Так как $$b>0$$, а $$(y-b)^2\ge 0$$ и $$y(1-b)^2\ge 0$$, то левая часть неотрицательна. Следовательно, неравенство доказано.

2. Преобразуем левую часть:

   $$a^4+6a^2b^2+b^4-4ab(a^2+b^2)$$

   $$=(a^4+2a^2b^2+b^4)+4a^2b^2-4ab(a^2+b^2)$$

   $$=(a^2+b^2)^2-4ab(a^2+b^2)+4a^2b^2$$

   $$=(a^2+b^2-2ab)^2$$

   $$=(a-b)^4.$$

   Так как $$a\ne b$$, то $$(a-b)^4>0$$, значит

   $$a^4+6a^2b^2+b^4>4ab(a^2+b^2).$$

Ответ

1) Неравенство доказано. 2) Неравенство доказано.