Упр.922 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$x1+\lg x<0{,}1^{-2}$$
2. $$x2\lg x<10x$$
3. $$3-x<\log_5(20+5x)$$

1. $$x^{1+\lg x}<0{,}1^{-2}$$

   Так как $$0{,}1^{-2}=100=10^2,$$ получаем

   $$x^{1+\lg x}<10^2.$$

   Пусть $$t=\lg x,$$ тогда $$x=10^t$$ и

   $$x^{1+\lg x}=(10^t)^{1+t}=10^{t(1+t)}.$$

   Тогда

   $$10^{t(1+t)}<10^2 \;\Longrightarrow\; t^2+t-2<0.$$

   Решаем квадратное неравенство:

   $$t^2+t-2=(t+2)(t-1)<0,$$

   откуда

   $$-2<t<1.$$

   Возвращаясь к $$t=\lg x,$$ получаем

   $$10^{-2}<x<10^1,$$

   то есть

   $$x\in(0{,}01;10).$$

2. $$x^{2\lg x}<10x.$$

   Пусть $$t=\lg x,$$ тогда $$x=10^t,$$ и левая часть равна

   $$x^{2\lg x}=(10^t)^{2t}=10^{2t^2}.$$

   Правая часть:

   $$10x=10\cdot 10^t=10^{t+1}.$$

   Следовательно,

   $$10^{2t^2}<10^{t+1}\;\Longrightarrow\;2t^2-t-1<0.$$

   Решаем:

   $$2t^2-t-1=(2t+1)(t-1)<0,$$

   откуда

   $$-\frac12<t<1.$$

   Тогда

   $$10^{-1/2}<x<10,$$

   то есть

   $$x\in\left(\frac1{\sqrt{10}};10\right).$$

3. $$3-x<\log_5(20+5^x).$$

   Перепишем левую часть как логарифм:

   $$\log_5 5^{\,3-x}<\log_5(20+5^x).$$

   Так как основание $$5>1,$$ то

   $$5^{3-x}<20+5^x.$$

   Пусть $$t=5^x,$$ тогда $$t>0$$ и

   $$\frac{125}{t}<20+t.$$

   Умножим на $$t>0$$:

   $$125<20t+t^2,$$

   или

   $$t^2+20t-125>0.$$

   Разложим на множители:

   $$t^2+20t-125=(t+25)(t-5)>0.$$

   С учётом $$t>0$$ получаем $$t>5,$$ то есть

   $$5^x>5 \;\Longrightarrow\; x>1.$$

Ответ

1) $$x\in(0{,}01;10);$$ 2) $$x\in\left(\frac1{\sqrt{10}};10\right);$$ 3) $$x\in(1;+\infty).$$