Упр.916 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$\log_{\frac{1}{2}}\left(1+x-\sqrt{x^2-4}\right)\leq 0$$
2. $$\frac{1}{\log_5(3-2x)}-\frac{1}{4-\log_5(3-2x)}<0$$

1. $$\log_{\frac12}\left(1+x-\sqrt{x^2-4}\right)\le 0.$$

   Так как основание $$\frac12<1,$$ то

   $$1+x-\sqrt{x^2-4}\ge 1.$$

   Тогда

   $$x\ge \sqrt{x^2-4}.$$

   Возведём в квадрат:

   $$x^2\ge x^2-4,$$

   что верно при любых $$x.$$

   Но нужно учесть область определения:

   $$x^2-4\ge 0,\qquad 1+x-\sqrt{x^2-4}>0.$$

   Из $$x^2-4\ge 0$$ получаем $$x\le -2$$ или $$x\ge 2.$$

   При $$x\le -2$$ выражение $$1+x-\sqrt{x^2-4}$$ не является положительным, поэтому остаётся

   $$x\ge 2.$$

   Следовательно,

   $$x\in[2;+\infty).$$

2. $$\frac{1}{\log_5(3-2x)}-\frac{1}{4-\log_5(3-2x)}<0.$$

   Положим $$t=\log_5(3-2x).$$ Тогда

   $$\frac{1}{t}-\frac{1}{4-t}<0.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{4-2t}{t(4-t)}<0,$$

   или

   $$\frac{2-t}{t(4-t)}<0.$$

   Критические точки: $$t=0,\; t=2,\; t=4.$$ По знакам дроби получаем

   $$t<0 \quad \text{или} \quad 2<t<4.$$

   Возвращаемся к $$x$$.

   1) Если $$\log_5(3-2x)<0,$$ то

   $$0<3-2x<1,$$

   откуда

   $$1<x<\frac32.$$

   2) Если $$2<\log_5(3-2x)<4,$$ то

   $$5^2<3-2x<5^4,$$

   $$25<3-2x<625,$$

   $$-622<-2x<22,$$

   $$-311<x<-11.$$

   С учётом области определения $$3-2x>0$$ получаем итог:

   $$x\in(-311;-11)\cup\left(1;\frac32\right).$$

Ответ

1) $$x\in[2;+\infty).$$

2) $$x\in(-311;-11)\cup\left(1;\frac32\right).$$