Упр.914 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$\log_{\frac{1}{2}}\left(\log_{\frac{1}{2}}\frac{3x+1}{x-1}\right)\le 0$$
2. $$\log_{\frac{1}{3}}\left(\log_4(x^2-5)\right)>0$$

1. $$\log_{\frac12}\!\left(\log_{\frac12}\frac{3x+1}{x-1}\right)\le 0.$$
   Так как $$0<\frac12<1,$$ то $$\log_{\frac12}\frac{3x+1}{x-1}\ge 1.$$ Снова учитываем, что основание логарифма меньше 1: $$\frac{3x+1}{x-1}\le \frac12.$$ Решаем неравенство: $$\frac{3x+1}{x-1}-\frac12\le 0$$ $$\frac{2(3x+1)-(x-1)}{2(x-1)}\le 0$$ $$\frac{5x+3}{x-1}\le 0.$$ Отсюда $$x\in\left[-\frac35;1\right).$$ Теперь найдём область определения: $$\log_{\frac12}\frac{3x+1}{x-1}>0.$$
   При $$0<\frac12<1$$ это равносильно $$0<\frac{3x+1}{x-1}<1.$$ Решая систему, получаем $$x\in\left(-1;-\frac13\right)\cup(1;+\infty).$$ Пересекаем с найденным множеством: $$\left[-\frac35;1\right)\cap\left(\left(-1;-\frac13\right)\cup(1;+\infty)\right) =\left[-\frac35;-\frac13\right).$$
2. $$\log_{\frac13}\!\left(\log_4(x^2-5)\right)>0.$$
   Так как $$0<\frac13<1,$$ то $$\log_4(x^2-5)<1.$$ Тогда $$x^2-5<4$$ $$x^2-9<0$$ $$(x-3)(x+3)<0,$$ откуда $$-30.$$
   При основании $$4>1$$ это равносильно
   $$x^2-5>1$$
   $$x^2-6>0$$
   $$(x-\sqrt6)(x+\sqrt6)>0,$$
   значит,
   $$x\in(-\infty;-\sqrt6)\cup(\sqrt6;+\infty).$$

   Пересекаем условия:
   $$(-3;3)\cap\left((-\infty;-\sqrt6)\cup(\sqrt6;+\infty)\right) =(-3;-\sqrt6)\cup(\sqrt6;3).$$

Ответ

1) $$x\in\left[-\frac35;-\frac13\right);$$
2) $$x\in(-3;-\sqrt6)\cup(\sqrt6;3).$$