Упр.901 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

При каком наименьшем целом значении $$x$$ выражение $$\frac{x^2-x-6}{-7-x^2}$$ принимает положительное значение?

Рассмотрим неравенство

$$\frac{x^2-x-6}{-7-x^2}>0.$$

Преобразуем знаменатель:

$$-7-x^2=-(x^2+7).$$

Так как $$x^2+7>0$$ при любом $$x$$, то знаменатель всегда отрицателен. Тогда дробь будет положительной, если числитель тоже отрицателен:

$$x^2-x-6<0.$$

Разложим на множители:

$$x^2-x-6=(x-3)(x+2).$$

Получаем:

$$(x-3)(x+2)<0.$$

Произведение отрицательно между корнями:

$$-2<x<3.$$

Наименьшее целое значение $$x$$, удовлетворяющее этому неравенству, равно $$-1$$.

Ответ

$$-1$$