Упр.790 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$4\sin x\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right)=\sin 3x$$
2. $$\cos 3x\cos 6x\cos 12x=\frac{\sin 24x}{8\sin 3x}$$

1. Используем формулу произведения синусов:
   $$2\sin A\sin B=\cos(A-B)-\cos(A+B).$$

   Тогда
   $$4\sin x\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right) =2\sin x\left(\cos(-2x)-\cos\frac{2\pi}{3}\right).$$

   Так как $$\cos(-2x)=\cos 2x,$$ а $$\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12,$$ получаем
   $$2\sin x\left(\cos 2x+\frac12\right) =\sin x\left(2\cos 2x+1\right).$$

   Заменим $$1=\cos^2 x+\sin^2 x$$ и $$2\cos 2x=2(\cos^2 x-\sin^2 x)$$:
   $$\sin x\left(2\cos^2 x-2\sin^2 x+\cos^2 x+\sin^2 x\right) =\sin x\left(3\cos^2 x-\sin^2 x\right).$$

   Далее
   $$\sin x\left(3\cos^2 x-\sin^2 x\right) =\sin x\left(3-4\sin^2 x\right) =3\sin x-4\sin^3 x.$$

   По формуле
   $$\sin 3x=3\sin x-4\sin^3 x,$$
   получаем
   $$4\sin x\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right)=\sin 3x.$$

2. Преобразуем левую часть, используя формулу
   $$2\sin a\cos a=\sin 2a.$$

   Умножим обе части на $$8\sin 3x$$:
   $$8\sin 3x\cos 3x\cos 6x\cos 12x.$$

   Сгруппируем:
   $$2\sin 6x\cos 6x\cos 12x=\sin 12x\cos 12x.$$

   Тогда
   $$2\sin 12x\cos 12x=\sin 24x.$$

   Следовательно,
   $$8\sin 3x\cos 3x\cos 6x\cos 12x=\sin 24x,$$
   откуда
   $$\cos 3x\cos 6x\cos 12x=\frac{\sin 24x}{8\sin 3x}.$$

Ответ

1) $$4\sin x\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right)=\sin 3x$$
2) $$\cos 3x\cos 6x\cos 12x=\frac{\sin 24x}{8\sin 3x}$$