Упр.781 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$\frac{\sqrt{2}-\cos x-\sin x}{\sin x-\cos x}$$
2. $$\frac{1+\cos x+\sin x+\operatorname{tg}x}{\sin x+\cos x}$$

1. $$\frac{\sqrt{2}-\cos x-\sin x}{\sin x-\cos x}$$
   
   Используем формулы:
   $$\sqrt{2}=2\sin\frac{\pi}{4}=2\cos\frac{\pi}{4},$$
   $$\sin x+\cos x=2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$
   Удобнее преобразовать числитель и знаменатель через разность и сумму тригонометрических функций:
   $$\sqrt{2}-\cos x-\sin x=1-\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right),$$
   $$\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$
   Тогда
   $$\frac{\sqrt{2}-\cos x-\sin x}{\sin x-\cos x} = \frac{1-\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}{\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}.$$
   По формуле
   $$1-\cos t=2\sin^2\frac{t}{2}, \qquad \sin t=2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}$$
   получаем
   $$\frac{1-\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}{\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)} = \frac{2\sin^2\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{8}\right)}{2\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{8}\right)\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{8}\right)} = \tg\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{8}\right).$$

2. $$\frac{1+\cos x+\sin x+\tg x}{\sin x+\cos x}$$
   Преобразуем, заменив $$\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}$$:
   $$\frac{1+\cos x+\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}}{\sin x+\cos x}.$$
   Приведём числитель к общему знаменателю $$\cos x$$:
   $$\frac{\frac{\cos x+\cos^2 x+\sin x\cos x+\sin x}{\cos x}}{\sin x+\cos x} = \frac{\cos x+\cos^2 x+\sin x\cos x+\sin x}{\cos x(\sin x+\cos x)}.$$
   Сгруппируем:
   $$\cos x+\cos^2 x+\sin x\cos x+\sin x = (\cos x+\sin x)(1+\cos x).$$
   Тогда
   $$\frac{(\cos x+\sin x)(1+\cos x)}{\cos x(\sin x+\cos x)} = \frac{1+\cos x}{\cos x} = 1+\frac{1}{\cos x}.$$

Ответ

1) $$\tg\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{8}\right)$$

2) $$1+\frac{1}{\cos x}$$