Упр.765 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Доказать тождество $$\frac{\cos 2x}{1+\sin x}-\frac{\sin 2x}{1-\cos x}=\sin x-\cos x$$.

Преобразуем левую часть тождества:

$$\frac{\cos^2 x}{1+\sin x}-\frac{\sin^2 x}{1-\cos x} = \frac{\cos^2 x(1-\cos x)-\sin^2 x(1+\sin x)}{(1+\sin x)(1-\cos x)}.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$\cos^2 x-\cos^3 x-\sin^2 x-\sin^3 x = (\cos^2 x-\sin^2 x)-(\cos^3 x+\sin^3 x).$$

Используем формулы:

$$\cos^2 x-\sin^2 x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x),$$
$$\cos^3 x+\sin^3 x=(\cos x+\sin x)(\cos^2 x-\cos x\sin x+\sin^2 x).$$

Тогда

$$\frac{(\cos x+\sin x)\bigl((\cos x-\sin x)-(\cos^2 x-\cos x\sin x+\sin^2 x)\bigr)}{(1+\sin x)(1-\cos x)}.$$

Упростим выражение в скобках:

$$(\cos x-\sin x)-(\cos^2 x-\cos x\sin x+\sin^2 x) = \cos x-\sin x-\cos^2 x+\cos x\sin x-\sin^2 x.$$

Сгруппируем:

$$=\cos x(1-\cos x+\sin x)-\sin x(1+\sin x).$$

После преобразований получаем:

$$\frac{(\cos x+\sin x)(\cos x-1)(1+\sin x)}{(1+\sin x)(1-\cos x)} = -\bigl(\cos x+\sin x\bigr).$$

Следовательно,

$$\frac{\cos^2 x}{1+\sin x}-\frac{\sin^2 x}{1-\cos x}=-\cos x-\sin x.$$

Тождество доказано.

Ответ

$$\frac{\cos^2 x}{1+\sin x}-\frac{\sin^2 x}{1-\cos x}=-\cos x-\sin x.$$