Упр.727 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Доказать, что если a и b — натуральные числа и $$\sqrt{ab}$$ — рациональное число, то $$\sqrt{\frac{a}{b}}$$ также рациональное число, а если $$\sqrt{ab}$$ — иррациональное число, то и $$\sqrt{\frac{a}{b}}$$ — иррациональное число.

Пусть $$a,b \in \mathbb{N}.$$ Тогда

$$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{b}.$$

Действительно,

$$\sqrt{\frac{a}{b}}=\sqrt{\frac{a\cdot b}{b\cdot b}}=\sqrt{\frac{ab}{b^2}}=\frac{\sqrt{ab}}{b}.$$

Если $$\sqrt{ab}$$ — рациональное число, то и $$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{b}$$ рационально, так как $$b$$ — натуральное число.

Если же $$\sqrt{ab}$$ — иррациональное число, то число $$\frac{\sqrt{ab}}{b}$$ тоже иррационально, поскольку деление иррационального числа на ненулевое рациональное число не может дать рациональное число.

Следовательно, в первом случае $$\sqrt{\frac{a}{b}}$$ рационально, а во втором — иррационально.

Ответ

$$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{b}.$$ Поэтому если $$\sqrt{ab}\in \mathbb{Q},$$ то $$\sqrt{\frac{a}{b}}\in \mathbb{Q};$$ если $$\sqrt{ab}\notin \mathbb{Q},$$ то $$\sqrt{\frac{a}{b}}\notin \mathbb{Q}.$$