Упр.702 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Доказать, что $$n^5-5n^3+4n$$ делится на $$120$$ при $$n\in\mathbb{N}$$.

Преобразуем выражение:

$$n^5-5n^3+4n=n(n^4-5n^2+4).$$

Обозначим $$x=n^2$$. Тогда

$$n^4-5n^2+4=x^2-5x+4=(x-1)(x-4).$$

Следовательно,

$$n^5-5n^3+4n=n(n^2-1)(n^2-4).$$

Разложим на множители:

$$n(n^2-1)(n^2-4)=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2).$$

Это произведение пяти последовательных целых чисел. Среди любых пяти последовательных чисел обязательно есть:

• число, делящееся на $$5$$;
• число, делящееся на $$4$$;
• число, делящееся на $$3$$;
• два числа, делящиеся на $$2$$.

Значит, произведение делится на

$$5\cdot 4\cdot 3\cdot 2=120.$$

Следовательно, $$n^5-5n^3+4n$$ делится на $$120$$ при любом $$n\in \mathbb{N}$$.

Ответ

$$n^5-5n^3+4n$$ делится на $$120$$ при любом $$n\in \mathbb{N}$$.