Упр.1133 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Для функции $$f(x)=\cos 4x$$ найти первообразную $$F(x)$$, если $$F\left(\frac{\pi}{24}\right)=-1$$.

Найдём первообразную для функции $$f(x)=\cos 4x.$$

Так как

$$\int \cos 4x\,dx=\frac14\sin 4x+C,$$

то

$$F(x)=\frac14\sin 4x+C.$$

Используем условие $$F\!\left(\frac{\pi}{24}\right)=-1.$$ Подставим:

$$-1=\frac14\sin\left(4\cdot\frac{\pi}{24}\right)+C=\frac14\sin\frac{\pi}{6}+C.$$

Так как $$\sin\frac{\pi}{6}=\frac12,$$ получаем

$$-1=\frac14\cdot\frac12+C=\frac18+C,$$

откуда

$$C=-1-\frac18=-\frac98.$$

Следовательно,

$$F(x)=\frac14\sin 4x-\frac98=\frac18\left(2\sin 4x-9\right).$$

Ответ

$$F(x)=\frac18\left(2\sin 4x-9\right).$$