Упр.1109 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. В какой точке графика функции $$y=(x-1)^2$$, $$0\leq x\leq 1$$, нужно провести касательную к графику, чтобы площадь треугольника, ограниченного этой касательной и осями координат, была наименьшей?

Пусть касательная проведена в точке с абсциссой $$a,\quad 0\le a\le 1.$$

Для функции $$y=(x-1)^2$$ имеем производную:

$$y'(x)=2(x-1),\qquad y'(a)=2(a-1).$$

Уравнение касательной в точке $$a$$:

$$y=(a-1)^2+2(a-1)(x-a).$$

Упростим:

$$y=(a-1)\bigl((a-1)+2x-2a\bigr)=(a-1)(2x-a-1).$$

Найдём точки пересечения касательной с осями координат.

С осью $$Oy$$:

$$y(0)=(a-1)(-a-1)=(1-a)(a+1).$$

С осью $$Ox$$:

$$(a-1)(2x-a-1)=0 \Rightarrow x=\frac{a+1}{2}$$

Так как $$0\le a\le 1,$$ площадь треугольника равна

$$S(a)=\frac12\cdot (1-a)(a+1)\cdot \frac{a+1}{2}=\frac14(1-a)(a+1)^2.$$

Найдём максимум этой площади на отрезке $$[0,1]$$:

$$S'(a)=\frac14\Bigl(-(a+1)^2+2(1-a)(a+1)\Bigr)=\frac{(a+1)(1-3a)}{4}.$$

Критическая точка:

$$S'(a)=0 \Rightarrow a=\frac13.$$

На концах отрезка:

$$S(0)=\frac14,\qquad S(1)=0,\qquad S\!\left(\frac13\right)=\frac14\cdot \frac23\cdot \left(\frac43\right)^2=\frac{4}{9}.$$

Наибольшая площадь получается при $$a=\frac13.$$ Тогда точка касания:

$$\left(\frac13,\left(\frac13-1\right)^2\right)=\left(\frac13,\frac49\right).$$

Ответ

$$\left(\frac13,\frac49\right)$$