Упр.1086 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Какую наименьшую площадь полной поверхности имеет цилиндр, если его объём равен $$V$$?

Пусть $$r$$ — радиус основания цилиндра, $$h$$ — его высота. Тогда

$$V=\pi r^2h,$$

откуда

$$h=\frac{V}{\pi r^2}.$$

Площадь полной поверхности цилиндра:

$$S=2\pi r^2+2\pi rh.$$

Подставим выражение для $$h$$:

$$S(r)=2\pi r^2+2\pi r\cdot \frac{V}{\pi r^2}=2\pi r^2+\frac{2V}{r}.$$

Найдём минимум этой функции при $$r>0$$:

$$S'(r)=4\pi r-\frac{2V}{r^2}=\frac{4\pi r^3-2V}{r^2}.$$

Приравниваем производную к нулю:

$$4\pi r^3-2V=0,$$

$$r^3=\frac{V}{2\pi},$$

$$r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}.$$

Тогда

$$h=\frac{V}{\pi r^2}=\frac{V}{\pi\left(\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\right)^2}=2\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}=2r.$$

Подставим в формулу площади:

$$S_{\min}=2\pi r^2+2\pi r\cdot 2r=6\pi r^2.$$

Так как

$$r^2=\left(\frac{V}{2\pi}\right)^{\frac{2}{3}},$$

то

$$S_{\min}=6\pi\left(\frac{V}{2\pi}\right)^{\frac{2}{3}}=3\sqrt[3]{2\pi V^2}.$$

Ответ

$$3\sqrt[3]{2\pi V^2}$$