Упр.1081 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. На параболе $$y=x^2$$ найти точку, расстояние от которой до точки $$A\left(2;\frac{1}{2}\right)$$ является наименьшим.

Пусть искомая точка параболы имеет координаты $$B(x; x^2).$$ Тогда расстояние от неё до точки $$A\left(2;\frac12\right)$$ равно

$$AB=\sqrt{(x-2)^2+\left(x^2-\frac12\right)^2}.$$

Чтобы найти наименьшее расстояние, достаточно минимизировать квадрат расстояния:

$$AB^2=(x-2)^2+\left(x^2-\frac12\right)^2.$$

Раскроем скобки:

$$AB^2=x^2-4x+4+x^4-x^2+\frac14=x^4-4x+\frac{17}{4}.$$

Обозначим

$$f(x)=x^4-4x+\frac{17}{4}.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=4x^3-4=4(x^3-1)=4(x-1)(x^2+x+1).$$

Так как $$x^2+x+1>0$$ при всех $$x,$$ то знак производной определяется множителем $$x-1.$$ Следовательно, функция убывает при $$x<1$$ и возрастает при $$x>1,$$ значит, минимум достигается при

$$x=1.$$

Тогда

$$y=x^2=1.$$

Искомая точка:

$$B(1;1).$$

Ответ

$$B(1;1)$$