Упр.1039 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. 1038. Найти все значения $$a$$, при каждом из которых наименьшее значение функции $$y=x^2+(a+4)x+2a+3$$ на отрезке $$[0;2]$$ равно $$-4$$.

Рассмотрим функцию

$$y=x^2+(a+4)x+2a+3.$$

Это парабола, ветви направлены вверх. Её вершина имеет абсциссу

$$x_0=-\frac{a+4}{2}.$$

Чтобы на отрезке $$[0;2]$$ наименьшее значение было равно $$-4$$, возможны три случая.

1. Вершина лежит внутри отрезка: $$0\le x_0\le 2.$$ Тогда минимум достигается в вершине:

   $$y_{\min}= -\frac{(a+4)^2}{4}+2a+3.$$

   По условию

   $$-\frac{(a+4)^2}{4}+2a+3=-4.$$

   Умножим на $$4$$:

   $$-(a+4)^2+8a+12=-16,$$

   $$a^2=12,$$

   $$a=\pm 2\sqrt{3}.$$

   Проверим условие $$0\le x_0\le 2$$:

   $$x_0=-\frac{a+4}{2}.$$

   При $$a=2\sqrt{3}$$ получаем $$x_0<0$$, не подходит. При $$a=-2\sqrt{3}$$ также $$x_0<0$$, не подходит.

2. Минимум достигается в точке $$x=0$$:

   $$y(0)=2a+3=-4,$$

   откуда

   $$2a=-7,\qquad a=-\frac{7}{2}.$$

   Проверим условие, что функция возрастает на $$[0;2]$$:

   $$x_0=-\frac{a+4}{2}\le 0.$$

   При $$a=-\frac{7}{2}$$ имеем

   $$x_0=-\frac{1}{4}\le 0,$$

   значит, этот случай подходит.

3. Минимум достигается в точке $$x=2$$:

   $$y(2)=4+2(a+4)+2a+3=4a+19.$$

   По условию

   $$4a+19=-4,$$

   откуда

   $$a=-\frac{23}{4}.$$

   Но тогда

   $$x_0=-\frac{a+4}{2}=\frac{7}{8},$$

   то есть вершина лежит внутри отрезка, а не справа от него. Этот случай не подходит.

Подходит только значение $$a=-\frac{7}{2}.$$

Ответ

$$a=-\frac{7}{2}$$