Упр.1036 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$y=\sqrt{6x-7}-2x$$
2. $$y=\sqrt{x^2-4x-5}$$

1. $$y=\sqrt{6x-7}-2x.$$

   Найдём область определения: $$6x-7\ge 0,$$ значит $$x\ge \frac{7}{6}.$$

   Исследуем функцию на возрастание:

   $$y'(x)=\frac{6}{2\sqrt{6x-7}}-2=\frac{3}{\sqrt{6x-7}}-2.$$

   Для максимума производная должна быть неотрицательной:

   $$\frac{3}{\sqrt{6x-7}}-2\ge 0$$
   $$\frac{3}{\sqrt{6x-7}}\ge 2$$
   $$3\ge 2\sqrt{6x-7}$$
   $$9\ge 4(6x-7)$$
   $$9\ge 24x-28$$
   $$24x\le 37$$
   $$x\le \frac{37}{24}.$$

   Значит, наибольшее значение достигается при $$x=\frac{37}{24}.$$ Найдём его:

   $$y\!\left(\frac{37}{24}\right)=\sqrt{6\cdot \frac{37}{24}-7}-2\cdot \frac{37}{24}$$
   $$=\sqrt{\frac{37}{4}-7}-\frac{37}{12} =\sqrt{\frac{9}{4}-\frac{37}{12}}-\frac{37}{12} =\frac{3}{2}-\frac{37}{12} =-\frac{19}{12}.$$

   Так как при больших $$x$$ функция убывает без ограничения, то множество значений:

   $$E(y)=\left(-\infty;\,-\frac{19}{12}\right].$$

2. $$y=\sqrt{x^2-4x-5}.$$

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   $$x^2-4x-5\ge 0$$
   $$(x-5)(x+1)\ge 0.$$

   При этом $$y\ge 0$$ для всех допустимых $$x$$. Минимальное значение равно $$0$$, если подкоренное выражение обращается в нуль:

   $$x^2-4x-5=0$$
   $$(x-5)(x+1)=0$$
   $$x=5 \text{ или } x=-1.$$

   Следовательно, функция принимает все значения от нуля и выше:

   $$E(y)=[0;+\infty).$$

Ответ

1) $$E(y)=\left(-\infty;\,-\frac{19}{12}\right].$$ 2) $$E(y)=[0;+\infty).$$