Упр.1021 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти наибольшее или наименьшее значение функции $$y=ax^2+bx-4$$, если $$y(1)=0$$ и $$y(4)=0$$.

Так как $$y=ax^2+bx-4,$$ и $$y(1)=0,$$ $$y(4)=0,$$ то точки $$x=1$$ и $$x=4$$ — нули функции. Значит,

$$y=a(x-1)(x-4).$$

Раскроем скобки:

$$y=a(x^2-5x+4)=ax^2-5ax+4a.$$

Сравнивая с $$y=ax^2+bx-4,$$ получаем

$$4a=-4,$$

откуда

$$a=-1,$$

а тогда

$$b=-5a=5.$$

Следовательно,

$$y=-x^2+5x-4.$$

Это парабола, ветви которой направлены вниз, значит, функция имеет наибольшее значение в вершине.

Найдём абсциссу вершины:

$$x=\frac{-b}{2a}=\frac{-5}{2\cdot(-1)}=\frac52.$$

Вычислим значение функции:

$$y\left(\frac52\right)=-\left(\frac52\right)^2+5\cdot\frac52-4$$

$$=-\frac{25}{4}+\frac{25}{2}-4=\frac{9}{4}.$$

Ответ

Наибольшее значение функции равно $$\frac94$$.