Упр.683 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что для любых комплексных чисел $$z_1$$ и $$z_2$$ справедливо равенство:
   1) $$\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\,\overline{z_2}$$;
   2) $$\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$$, $$z_2\ne0$$.

Пусть $$z_1=x_1+y_1i,\quad z_2=x_2+y_2i.$$ Тогда

1. $$\overline{z_1z_2}=\overline{(x_1+y_1i)(x_2+y_2i)}$$
   $$=\overline{(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i}$$
   $$=(x_1x_2-y_1y_2)-(x_1y_2+x_2y_1)i.$$

   С другой стороны,
   $$\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}=(x_1-y_1i)(x_2-y_2i)$$
   $$=x_1x_2-y_1y_2-(x_1y_2+x_2y_1)i.$$

   Следовательно, $$\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}.$$

2. При $$z_2\ne 0$$ имеем
   $$\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\overline{\left(\frac{z_1\overline{z_2}}{z_2\overline{z_2}}\right)}=\overline{\left(\frac{z_1\overline{z_2}}{|z_2|^2}\right)}.$$

   Так как $$|z_2|^2$$ — действительное число, то
   $$\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}\,z_2}{|z_2|^2}.$$

   С другой стороны,
   $$\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}\cdot\frac{z_2}{z_2}=\frac{\overline{z_1}\,z_2}{|z_2|^2}.$$

   Значит, $$\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}.$$

Ответ: $$\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2},\qquad \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}},\ z_2\ne 0.$$