Упр.673 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Составить приведённое квадратное уравнение с действительными коэффициентами, если один из его корней равен:

1. $$\sqrt{3}-\sqrt{5}i$$;
2. $$\frac{3-2i}{2+3i}$$.

Если квадратное уравнение имеет действительные коэффициенты, то вместе с комплексным корнем в нём есть и сопряжённый корень.

1. Пусть $$z_1=\sqrt{3}-\sqrt{5}i.$$ Тогда второй корень:

   $$z_2=\overline{z_1}=\sqrt{3}+\sqrt{5}i.$$

   Составим уравнение:

   $$\left(z-\sqrt{3}+\sqrt{5}i\right)\left(z-\sqrt{3}-\sqrt{5}i\right)=0.$$

   Раскроем скобки:

   $$\left(z-\sqrt{3}\right)^2-(\sqrt{5}i)^2=0,$$

   $$z^2-2\sqrt{3}z+3+5=0,$$

   $$z^2-2\sqrt{3}z+8=0.$$

2. Пусть

   $$z_1=\frac{3-2i}{2+3i}.$$

   Упростим дробь:

   $$z_1=\frac{(3-2i)(2-3i)}{(2+3i)(2-3i)}=\frac{6-9i-4i+6i^2}{4-9i^2}=\frac{6-13i-6}{13}=-i.$$

   Тогда второй корень:

   $$z_2=\overline{z_1}=i.$$

   Составим уравнение:

   $$\left(z+i\right)\left(z-i\right)=0,$$

   $$z^2+1=0.$$

Ответ

1) $$z^2-2\sqrt{3}z+8=0$$

2) $$z^2+1=0$$