Упр.656 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Решить квадратное уравнение с комплексными коэффициентами:

1. $$z^2+(2-6i)z-12-6i=0$$;
2. $$z^2-2(1+i)z+9+2i=0$$.

1) Для уравнения $$z^2+(2-6i)z-12-6i=0$$ найдём дискриминант:

$$D=(2-6i)^2-4(-12-6i).$$

$$D=4-24i-36+48+24i=16.$$

Тогда

$$z_{1,2}=\frac{-(2-6i)\pm \sqrt{16}}{2}=\frac{-2+6i\pm 4}{2}.$$

$$z_1=\frac{-2+6i-4}{2}=-3+3i,\qquad z_2=\frac{-2+6i+4}{2}=1+3i.$$

2) Для уравнения $$z^2-2(1+i)z+9+2i=0$$ найдём дискриминант:

$$D=[-2(1+i)]^2-4(9+2i).$$

$$D=4(1+i)^2-36-8i=4(1+2i+i^2)-36-8i=-36.$$

Следовательно,

$$\sqrt{D}=\sqrt{-36}=6i.$$

Тогда

$$z_{1,2}=\frac{2(1+i)\pm 6i}{2}=\frac{2+2i\pm 6i}{2}.$$

$$z_1=\frac{2+8i}{2}=1+4i,\qquad z_2=\frac{2-4i}{2}=1-2i.$$

Ответ

1) $$-3+3i,\ 1+3i$$

2) $$1-2i,\ 1+4i$$