Упр.623 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Решить систему уравнений: $$\begin{cases} z-4/z-8-1=0,\\ z-12/z-8i=\frac{5}{3}. \end{cases}$$

Пусть $$z=x+yi,$$ где $$x,y\in \mathbb{R}.$$ Тогда система равносильна системе модулей:

$$\begin{cases} \dfrac{|z-4|}{|z-8|}=1,\\[4pt] \dfrac{|z-12|}{|z-8i|}=\dfrac{5}{3}. \end{cases}$$

Из первого уравнения получаем:

$$|z-4|=|z-8|.$$

Подставим $$z=x+yi$$:

$$(x-4)^2+y^2=(x-8)^2+y^2.$$

$$x^2-8x+16=x^2-16x+64,$$
$$8x=48,$$
$$x=6.$$

Теперь рассмотрим второе уравнение:

$$3|z-12|=5|z-8i|.$$

Подставим $$z=6+yi$$:

$$3\sqrt{(6-12)^2+y^2}=5\sqrt{6^2+(y-8)^2}.$$

Возведём в квадрат:

$$9\bigl((6-12)^2+y^2\bigr)=25\bigl(6^2+(y-8)^2\bigr).$$

$$9(36+y^2)=25(36+y^2-16y+64),$$
$$324+9y^2=25y^2-400y+2500,$$
$$16y^2-400y+2176=0,$$
$$y^2-25y+136=0.$$

$$D=25^2-4\cdot 136=625-544=81.$$

$$y_{1,2}=\frac{25\pm 9}{2},$$
откуда

$$y_1=8,\qquad y_2=17.$$

Следовательно,

$$z_1=6+8i,\qquad z_2=6+17i.$$

Ответ

$$z_1=6+8i,\; z_2=6+17i.$$