Упр.613 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. С помощью равенства $$(m+ni)(m-ni)=m^2+n^2$$ доказать, что произведение двух чисел, каждое из которых есть сумма квадратов двух целых чисел, является также суммой квадратов двух целых чисел.

Пусть даны два числа, каждое из которых представимо в виде суммы квадратов двух целых чисел:

$$a^2+b^2 \quad \text{и} \quad c^2+d^2,$$

где $$a,b,c,d$$ — целые числа.

Используем равенство

$$(m+ni)(m-ni)=m^2+n^2.$$

Тогда

$$a^2+b^2=(a+bi)(a-bi), \qquad c^2+d^2=(c+di)(c-di).$$

Перемножим эти выражения:

$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(a+bi)(a-bi)(c+di)(c-di).$$

Сгруппируем множители так:

$$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,$$
$$(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(ad+bc)i.$$

Тогда

$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=\bigl((ac-bd)+(ad+bc)i\bigr)\bigl((ac-bd)-(ad+bc)i\bigr).$$

По формуле $$(m+ni)(m-ni)=m^2+n^2$$ получаем:

$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2.$$

Это снова сумма квадратов двух целых чисел.

Ответ

$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2,$$

то есть произведение двух чисел, каждое из которых является суммой квадратов двух целых чисел, также является суммой квадратов двух целых чисел.