Упр.609 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Решить уравнение:

1. 1) $$|z|-iz=1-2i$$; 2) $$z^2+3|z|=0$$.

1. Пусть $$z=a+bi,$$ где $$a,b\in \mathbb{R}.$$ Тогда $$|z|=\sqrt{a^2+b^2}.$$

   Из уравнения

   $$|z|-iz=1-2i$$

   получаем

   $$\sqrt{a^2+b^2}-i(a+bi)=1-2i,$$

   то есть

   $$\sqrt{a^2+b^2}-ai+b=1-2i.$$

   Приравниваем действительные и мнимые части:

   $$\begin{cases} \sqrt{a^2+b^2}+b=1,\\ -a=-2. \end{cases}$$

   Отсюда $$a=2.$$ Подставим в первое уравнение:

   $$\sqrt{4+b^2}+b=1.$$

   Тогда

   $$\sqrt{4+b^2}=1-b.$$

   Возведём в квадрат:

   $$4+b^2=1-2b+b^2,$$

   $$2b=-3,$$

   $$b=-\frac{3}{2}.$$

   Следовательно,

   $$z=2-\frac{3}{2}i.$$

2. Пусть $$z=a+bi.$$ Тогда

   $$z^2+3|z|=0$$

   даёт

   $$(a+bi)^2+3\sqrt{a^2+b^2}=0,$$

   $$a^2-b^2+2abi+3\sqrt{a^2+b^2}=0.$$

   Приравниваем действительные и мнимые части:

   $$\begin{cases} a^2-b^2+3\sqrt{a^2+b^2}=0,\\ 2ab=0. \end{cases}$$

   Из $$2ab=0$$ получаем: либо $$a=0,$$ либо $$b=0.$$

   1) Если $$a=0,$$ то

   $$-b^2+3|b|=0,$$

   $$|b|(3-|b|)=0.$$

   Отсюда $$b=0$$ или $$b=\pm 3.$$ Получаем числа $$z=0,\; z=3i,\; z=-3i.$$

   2) Если $$b=0,$$ то

   $$a^2+3|a|=0.$$

   Так как $$a^2\ge 0$$ и $$3|a|\ge 0,$$ то возможно только $$a=0,$$ то есть снова $$z=0.$$

Ответ

1) $$z=2-\frac{3}{2}i.$$

2) $$z=0,\; 3i,\; -3i.$$