Упр.454 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Решить уравнение относительно $$m$$:

1. $$C_m^3=\frac{4}{15}C_{m+2}^4$$;
2. $$C_{m-1}^{m+3}=55A_{m+1}^2$$;
3. $$5C_m^3=C_{m+2}^4$$;
4. $$C_{3m+1}^{3m-1}=120$$.

1. $$C_m^3=\frac{4}{15}C_{m+2}^4$$

   $$\frac{m!}{3!(m-3)!}=\frac{4}{15}\cdot \frac{(m+2)!}{4!(m-2)!}$$
   $$\frac{m(m-1)(m-2)!}{6(m-3)!}=\frac{4}{15}\cdot \frac{(m+2)(m+1)m(m-1)(m-2)!}{24(m-2)!}$$
   $$\frac{m(m-1)(m-2)}{6}=\frac{(m+2)(m+1)m(m-1)}{90}$$
   $$15(m-2)=(m+2)(m+1)$$
   $$15m-30=m^2+3m+2$$
   $$m^2-12m+32=0$$
   $$D=12^2-4\cdot 32=16$$
   $$m_{1,2}=\frac{12\pm 4}{2}$$
   $$m_1=4,\quad m_2=8$$

2. $$12C_{m+3}^{m-1}=55A_{m+1}^2$$

   $$12\cdot \frac{(m+3)!}{(m-1)!\,4!}=55\cdot \frac{(m+1)!}{(m-1)!}$$
   $$12\cdot \frac{(m+3)(m+2)(m+1)m!}{24}=55(m+1)m!$$
   $$\frac{(m+3)(m+2)}{2}=55$$
   $$(m+3)(m+2)=110$$
   $$m^2+5m+6=110$$
   $$m^2+5m-104=0$$
   $$D=5^2-4\cdot 1\cdot (-104)=441$$
   $$m_{1,2}=\frac{-5\pm 21}{2}$$
   $$m_1=8,\quad m_2=-13$$

3. $$5C_m^3=C_{m+2}^4$$

   $$5\cdot \frac{m!}{3!(m-3)!}=\frac{(m+2)!}{4!(m-2)!}$$
   $$5\cdot \frac{m(m-1)(m-2)}{6}=\frac{(m+2)(m+1)m(m-1)}{24}$$
   $$20(m-2)=(m+2)(m+1)$$
   $$20m-40=m^2+3m+2$$
   $$m^2-17m+42=0$$
   $$D=17^2-4\cdot 42=121$$
   $$m_{1,2}=\frac{17\pm 11}{2}$$
   $$m_1=3,\quad m_2=14$$

4. $$C_{3m+1}^{3m-1}=120$$

   $$\frac{(3m+1)!}{(3m-1)!\,2!}=120$$
   $$\frac{(3m+1)\cdot 3m}{2}=120$$
   $$3m(3m+1)=240$$
   $$9m^2+3m-240=0$$
   $$3m^2+m-80=0$$
   $$D=1^2-4\cdot 3\cdot (-80)=961$$
   $$m_{1,2}=\frac{-1\pm 31}{6}$$
   $$m_1=5,\quad m_2=-\frac{16}{3}$$

   С учётом условия на натуральное значение параметра подходит только $$m=5$$.

Ответ

1) $$4,\,8$$; 2) $$8$$; 3) $$3,\,14$$; 4) $$5$$.