Упр.405 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
- Методом математической индукции доказать, что для любого натурального $$n$$ справедливы равенства:
1) $$1+3+5+\ldots+(2n-1)=n^2$$;
2) $$3+5+7+\ldots+(2n+1)=n(n+2)$$;
3) $$1+2+4+\ldots+2^{n-1}=2^n-1$$;
4) $$3+9+27+\ldots+3^n=\frac{3}{2}(3^n-1)$$.
Докажем по индукции равенство $$1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2.$$
База: при $$n=1$$ имеем $$1=1^2.$$
Переход: пусть для $$n=k$$ верно
$$1+3+5+\dots+(2k-1)=k^2.$$
Тогда для $$n=k+1$$
$$1+3+5+\dots+(2k-1)+(2k+1)=k^2+(2k+1)=(k+1)^2.$$
Следовательно, равенство верно для любого натурального $$n$$.
Докажем равенство $$3+5+7+\dots+(2n+1)=n(n+2).$$
База: при $$n=1$$
$$3=1\cdot(1+2).$$
Переход: пусть при $$n=k$$ верно
$$3+5+7+\dots+(2k+1)=k(k+2).$$
Тогда при $$n=k+1$$
$$3+5+7+\dots+(2k+1)+(2k+3)=k(k+2)+(2k+3)=(k+1)(k+3).$$
Значит, $$3+5+7+\dots+(2n+1)=n(n+2)$$ для любого натурального $$n$$.
Докажем равенство $$1+2+4+\dots+2^{n-1}=2^n-1.$$
База: при $$n=1$$
$$1=2^1-1.$$
Переход: пусть при $$n=k$$ верно
$$1+2+4+\dots+2^{k-1}=2^k-1.$$
Тогда при $$n=k+1$$
$$1+2+4+\dots+2^{k-1}+2^k=(2^k-1)+2^k=2^{k+1}-1.$$
Следовательно, равенство верно для любого натурального $$n$$.
Докажем равенство $$3+9+27+\dots+3^n=\frac{3}{2}(3^n-1).$$
База: при $$n=1$$
$$3=\frac{3}{2}(3^1-1).$$
Переход: пусть при $$n=k$$ верно
$$3+9+27+\dots+3^k=\frac{3}{2}(3^k-1).$$
Тогда при $$n=k+1$$
$$3+9+27+\dots+3^k+3^{k+1} =\frac{3}{2}(3^k-1)+3^{k+1}$$
$$=\frac{3}{2}\cdot 3^k-\frac{3}{2}+3\cdot 3^k =\frac{9}{2}\cdot 3^k-\frac{3}{2} =\frac{3}{2}(3^{k+1}-1).$$
Значит, равенство верно для любого натурального $$n$$.
Ответ
Все четыре равенства доказаны методом математической индукции.
