Упр.383 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти площадь фигуры, ограниченной:
   1) параболой $$y=-x^2+4x-3$$ и прямой, проходящей через точки $$(1;0)$$ и $$(0;-3)$$;
   2) параболой $$y=-x^2$$ и прямой $$y=-2$$;
   3) параболами $$y=1-x^2$$ и $$y=x^2-1$$;
   4) графиком функции $$y=x^3$$ и прямыми $$y=1$$ и $$x=-2$$;
   5) прямой $$y=x$$ и графиком функции $$y=x^3$$, $$-1\leq x\leq 0$$;
   6) параболами $$y=x^2-2x$$ и $$y=-x^2$$.

1. Прямая проходит через точки $$(1;0)$$ и $$(0;-3)$$, значит её уравнение:

   $$y=3x-3.$$

   Точки пересечения с параболой:

   $$-x^2+4x-3=3x-3,$$

   $$x^2-x=0,$$

   $$x(x-1)=0,$$

   $$x=0,\; x=1.$$

   Площадь фигуры:

   $$S=\int_0^1\bigl((-x^2+4x-3)-(3x-3)\bigr)\,dx =\int_0^1(-x^2+x)\,dx.$$

   $$S=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right)\Bigg|_0^1 =-\frac13+\frac12=\frac16.$$

2. Точки пересечения параболы $$y=-x^2$$ и прямой $$y=-2$$:

   $$-x^2=-2,$$

   $$x^2=2,$$

   $$x=\pm\sqrt2.$$

   Площадь фигуры:

   $$S=\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\bigl((-x^2)-(-2)\bigr)\,dx =\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}(2-x^2)\,dx.$$

   $$S=\left(2x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-\sqrt2}^{\sqrt2} =\frac{8\sqrt2}{3}.$$

3. Точки пересечения парабол $$y=1-x^2$$ и $$y=x^2-1$$:

   $$1-x^2=x^2-1,$$

   $$2x^2=2,$$

   $$x^2=1,$$

   $$x=\pm1.$$

   Площадь фигуры:

   $$S=\int_{-1}^{1}\bigl((1-x^2)-(x^2-1)\bigr)\,dx =\int_{-1}^{1}(2-2x^2)\,dx.$$

   $$S=\left(2x-\frac{2x^3}{3}\right)\Bigg|_{-1}^{1} =\frac{8}{3}.$$

4. Точка пересечения графика $$y=x^3$$ и прямой $$y=1$$:

   $$x^3=1,\qquad x=1.$$

   Площадь фигуры:

   $$S=\int_{-2}^{1}(1-x^3)\,dx.$$

   $$S=\left(x-\frac{x^4}{4}\right)\Bigg|_{-2}^{1} =\left(1-\frac14\right)-\left(-2-4\right) =\frac{27}{4}.$$

5. На отрезке $$[-1;0]$$ прямая $$y=x$$ расположена выше графика $$y=x^3$$.

   Площадь фигуры:

   $$S=\int_{-1}^{0}(x-x^3)\,dx.$$

   $$S=\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right)\Bigg|_{-1}^{0} =0-\left(\frac12-\frac14\right)=\frac14.$$

6. Точки пересечения парабол $$y=x^2-2x$$ и $$y=-x^2$$:

   $$x^2-2x=-x^2,$$

   $$2x^2-2x=0,$$

   $$2x(x-1)=0,$$

   $$x=0,\; x=1.$$

   Площадь фигуры:

   $$S=\int_0^1\bigl((-x^2)-(x^2-2x)\bigr)\,dx =\int_0^1(2x-2x^2)\,dx.$$

   $$S=\left(x^2-\frac{2x^3}{3}\right)\Bigg|_0^1 =1-\frac23=\frac13.$$

Ответ

1) $$\frac16$$; 2) $$\frac{8\sqrt2}{3}$$; 3) $$\frac83$$; 4) $$\frac{27}{4}$$; 5) $$\frac14$$; 6) $$\frac13$$.