Упр.378 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти площадь фигуры, ограниченной:
   1) графиком функции $$y=\sin x$$, отрезком $$[0;\pi]$$ оси $$Ox$$ и прямой, проходящей через точки $$\left(0;0\right)$$ и $$\left(\frac{\pi}{2};1\right)$$;
   2) графиками функций $$y=\sin x$$, $$y=\cos x$$ и отрезком $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ оси $$Ox$$;
   3) графиками функций $$y=\sqrt{x}$$, $$y=(x-2)^2$$ и осью $$Ox$$;
   4) графиками функций $$y=x^3$$, $$y=2x-x^2$$ и осью $$Ox$$.

1. Прямая проходит через точки $$\left(0;0\right)$$ и $$\left(\frac{\pi}{2};1\right)$$, значит её уравнение имеет вид $$y=kx$$.

   Подставим вторую точку:

   $$1=k\cdot \frac{\pi}{2}, \qquad k=\frac{2}{\pi}.$$

   Тогда площадь фигуры:

   $$S=\int\limits_{0}^{\pi/2}\frac{2}{\pi}x\,dx+\int\limits_{\pi/2}^{\pi}\sin x\,dx$$

   $$S=\left.\frac{x^2}{\pi}\right|_{0}^{\pi/2}+\left.-\cos x\right|_{\pi/2}^{\pi} =\frac{\pi}{4}+1.$$

2. На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ графики $$y=\sin x$$ и $$y=\cos x$$ пересекаются при $$x=\frac{\pi}{4}$$.

   Поэтому площадь равна:

   $$S=\int\limits_{0}^{\pi/4}\sin x\,dx+\int\limits_{\pi/4}^{\pi/2}\cos x\,dx$$

   $$S=\left.-\cos x\right|_{0}^{\pi/4}+\left.\sin x\right|_{\pi/4}^{\pi/2} =\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right)+\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right) =2-\sqrt2.$$

3. Найдём точки пересечения графиков $$y=\sqrt{x}$$ и $$y=(x-2)^2$$:

   $$\sqrt{x}=(x-2)^2.$$

   Подходит точка $$x=1$$, так как $$\sqrt1=1$$ и $$\left(1-2\right)^2=1$$. Также фигура ограничена осью $$Ox$$, поэтому площадь:

   $$S=\int\limits_{0}^{1}\sqrt{x}\,dx+\int\limits_{1}^{2}(x-2)^2\,dx$$

   $$S=\left.\frac{2}{3}x^{3/2}\right|_{0}^{1}+\left.\frac{(x-2)^3}{3}\right|_{1}^{2} =\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1.$$

4. Графики $$y=x^3$$ и $$y=2x-x^2$$ пересекаются при $$x=0$$ и $$x=1$$.

   На отрезке $$[0;1]$$ сверху расположен график $$y=2x-x^2$$, а на отрезке $$[1;2]$$ — ось $$Ox$$ ограничивает фигуру вместе с графиком $$y=2x-x^2$$.

   Площадь:

   $$S=\int\limits_{0}^{1}x^3\,dx+\int\limits_{1}^{2}(2x-x^2)\,dx$$

   $$S=\left.\frac{x^4}{4}\right|_{0}^{1}+\left.\left(x^2-\frac{x^3}{3}\right)\right|_{1}^{2} =\frac14+\left(4-\frac83-1+\frac13\right) =\frac14+\frac{4}{3} =\frac{19}{12}.$$

Ответ

1) $$1+\frac{\pi}{4}$$; 2) $$2-\sqrt2$$; 3) $$1$$; 4) $$\frac{19}{12}$$.