Упр.337 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Из всех прямоугольных треугольников, у которых сумма одного катета и гипотенузы равна $$l$$, найти треугольник с наибольшей площадью.

Обозначим катеты через $$a$$ и $$b$$, гипотенузу — через $$c$$. По условию

$$a+c=l, \qquad c=l-a.$$

Так как треугольник прямоугольный, то

$$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{(l-a)^2-a^2}=\sqrt{l^2-2al}.$$

Площадь треугольника как функция от $$a$$:

$$S(a)=\frac12 ab=\frac12 a\sqrt{l^2-2al}.$$

Найдём производную:

$$S'(a)=\frac12\left(\sqrt{l^2-2al}+a\cdot\frac{-2l}{2\sqrt{l^2-2al}}\right) =\frac{l^2-3al}{2\sqrt{l^2-2al}}.$$

Критическая точка определяется из уравнения

$$l^2-3al=0,$$

откуда

$$a=\frac l3.$$

Тогда

$$c=l-a=l-\frac l3=\frac{2l}{3},$$

$$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{\left(\frac{2l}{3}\right)^2-\left(\frac l3\right)^2} =\sqrt{\frac{4l^2-l^2}{9}}=\frac{l}{\sqrt3}.$$

Следовательно, наибольшую площадь имеет треугольник с катетами $$\frac l3$$ и $$\frac{l}{\sqrt3}$$, гипотенузой $$\frac{2l}{3}$$.

Ответ

$$a=\frac l3,\quad b=\frac{l}{\sqrt3},\quad c=\frac{2l}{3}.$$